Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 21/kontrolle

Wie erklären Sie einem Grundschulkind, dass der „Raum“ die „Dimension“ ${\displaystyle {}3}$ besitzt?

Es sei die Standardbasis ${\displaystyle {}e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}}$ im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$ gegeben und die drei Vektoren

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\3\\0\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\1\\5\\7\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}-4\\9\\-5\\1\end{pmatrix}}.}$

Zeige, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß Satz 21.2 zu einer Basis. Kann man jeden Standardvektor nehmen?

Wir betrachten die linearen Gleichungen

${\displaystyle {}9x-8y+7z-8u+4v=0\,,}$

${\displaystyle {}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3y+7z-4u+6v=0\,,}$

${\displaystyle {}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-2z+5u+7v=0\,}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$.

1. Bestimme eine Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}_{1}}$ des Lösungsraumes des gesamten Gleichungssystems.
2. Ergänze die Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}_{1}}$ zu einer Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}_{2}}$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das aus den ersten beiden Gleichungen besteht.
3. Ergänze die Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}_{2}}$ zu einer Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}_{3}}$ des Lösungsraumes des Gleichungssystems, das allein aus der ersten Gleichung besteht.
4. Ergänze die Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}_{3}}$ zu einer Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {b}}_{4}}$ des Gesamtraumes ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{5}}$.

Bestimme die Dimension des Lösungsraumes der linearen Gleichung

${\displaystyle {}6x-y+4z+3w=0\,}$

in den Variablen ${\displaystyle {}x,y,z,w}$.

Bestimme die Dimension des Lösungsraumes des linearen Gleichungssystems

${\displaystyle {}4x-3y+7z+5u-v=0\,,}$

${\displaystyle {}y+6z-10u+3v=0\,}$

in den Variablen ${\displaystyle {}x,y,z,u,v}$.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum mit endlicher Dimension

${\displaystyle {}n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.}$

Es seien ${\displaystyle {}n}$ Vektoren ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ in ${\displaystyle {}V}$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ bilden eine Basis von ${\displaystyle {}V}$.
2. ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle {}V}$.
3. ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ sind linear unabhängig.

Es seien ${\displaystyle {}a,b,c\in \mathbb {R} }$ reelle Zahlen. Wir betrachten die drei Vektoren

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}c\\a\\b\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}b\\c\\a\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}\,.}$

Man gebe Beispiele für ${\displaystyle {}a,b,c}$ derart, dass der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum die Dimension ${\displaystyle {}0,1,2,3}$ besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum mit endlicher Dimension. Es sei ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein Untervektorraum mit ${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(U\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}}$. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}U=V}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Es sei ${\displaystyle {}d\in \mathbb {N} }$. Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad ${\displaystyle {}\leq d}$ ein endlichdimensionaler Untervektorraum von ${\displaystyle {}K[X]}$ ist. Was ist seine Dimension?

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad ${\displaystyle {}\leq 4}$, für die ${\displaystyle {}-2}$ und ${\displaystyle {}3}$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X]}$ ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale ${\displaystyle {}K}$- Vektorräume mit ${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(V\right)}=n}$ und ${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(W\right)}=m}$. Welche Dimension besitzt der Produktraum ${\displaystyle {}V\times W}$?

Es sei ${\displaystyle {}W}$ ein ${\displaystyle {}n}$-dimensionaler ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum (${\displaystyle {}K}$ ein Körper) und seien ${\displaystyle {}U,V\subseteq W}$ Untervektorräume der Dimension ${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(U\right)}=r}$ und ${\displaystyle {}\dim _{K}{\left(V\right)}=s}$. Es gelte ${\displaystyle {}r+s>n}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}U\cap V\neq 0}$ ist.

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von ${\displaystyle {}9}$-Tupeln der Länge ${\displaystyle {}9}$, also die Zeilenvektoren in der Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\\2&4&6&8&0&2&4&6&8\\3&6&9&2&5&8&1&4&7\\4&8&2&6&0&4&8&2&6\\5&0&5&0&5&0&5&0&5\\6&2&8&4&0&6&2&8&4\\7&4&1&8&5&2&9&6&3\\8&6&4&2&0&8&6&4&2\\9&8&7&6&5&4&3&2&1\end{pmatrix}}.}$

Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{9}}$?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum. Zeige, dass ${\displaystyle {}V}$ nicht zugleich eine endliche Basis und eine unendliche Basis besitzen kann.

Es sei die Standardbasis ${\displaystyle {}e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}}$ im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{4}}$ gegeben und die drei Vektoren

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\3\\0\\-4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\1\\5\\7\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}-4\\9\\-5\\1\end{pmatrix}}.}$

Zeige, dass diese Vektoren linear unabhängig sind und ergänze sie mit einem geeigneten Standardvektor gemäß Satz 21.2 zu einer Basis. Kann man jeden Standardvektor nehmen?

a) Bestimme die Dimension des Lösungsraumes des linearen Gleichungssystems

${\displaystyle {}2x+5y+7z+4u-3v+2w=0\,}$

${\displaystyle {}4x+9y+6z+5u-v+w=0\,}$

${\displaystyle {}7x+8y-3z+u+3v+3w=0\,}$

${\displaystyle {}-x+6y+16z+8u-7v=0\,}$

in den Variablen ${\displaystyle {}x,y,z,u,v,w}$.

b) Was ist die Dimension des Lösungsraumes, wenn man dieses System in den Variablen ${\displaystyle {}x,y,z,u,v,w,r,s}$ auffasst?

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad ${\displaystyle {}\leq 6}$, für die ${\displaystyle {}-1}$, ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}1}$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in ${\displaystyle {}\mathbb {R} [X]}$ ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und ${\displaystyle {}V}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum. Es sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{m}}$ eine Familie von ${\displaystyle {}m}$ Vektoren in ${\displaystyle {}V}$ und sei

${\displaystyle {}U=\langle v_{i},\,i=1,\ldots ,m\rangle \,}$

der davon aufgespannte Untervektorraum. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn die Dimension von ${\displaystyle {}U}$ gleich ${\displaystyle {}m}$ ist.