Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 22/kontrolle

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${\displaystyle {}L}$ ein ${\displaystyle {}K}$- Vektorraum ist.

Berechne im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]}$ das Produkt

${\displaystyle (-2+{\sqrt {7}})\cdot (4-{\sqrt {7}}).}$

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${\displaystyle {}1}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}L=K}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }=L}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]}$ das Inverse von ${\displaystyle {}2+5{\sqrt {7}}}$.

Wir betrachten den Unterring

${\displaystyle {}L={\left\{a+b\cdot 7^{1/3}+c\cdot 7^{2/3}\mid a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.}$

Berechne

${\displaystyle {\left(2-3\cdot 7^{1/3}+4\cdot 7^{2/3}\right)}{\left(1+{\frac {1}{2}}\cdot 7^{1/3}-5\cdot 7^{2/3}\right)}.}$

Zeige dabei insbesondere, dass das Ergebnis wieder zu ${\displaystyle {}L}$ gehört.

Wir betrachten die Menge

${\displaystyle {}L={\left\{a+b\cdot 7^{1/3}+c\cdot 7^{2/3}\mid a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq \mathbb {R} \,.}$

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}L}$ ein kommutativer Ring ist.

b) Stifte einen surjektiven Ringhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Q} [X]\longrightarrow L.}$

c) Bestimme den Kern von ${\displaystyle {}\varphi }$.

d) Zeige, dass ${\displaystyle {}L}$ ein Körper ist.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+4X^{2}-7)}$ das Inverse von ${\displaystyle {}{\frac {1}{3}}x+5}$ (${\displaystyle {}x}$ bezeichnet die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }}$.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung und sei ${\displaystyle {}f\in L}$ ein Element. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}K(f)}$ der Quotientenkörper von ${\displaystyle {}K[f]}$ ist.

Es seien ${\displaystyle {}K}$ und ${\displaystyle {}L}$ Körper, es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${\displaystyle {}A}$, ${\displaystyle {}K\subseteq A\subseteq L}$, ein Zwischenring. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}A}$ ebenfalls ein Körper ist.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung und ${\displaystyle {}K\subseteq K'\subseteq L}$ ein Zwischenkörper. Es sei ${\displaystyle {}f\in L}$ algebraisch über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass dann ${\displaystyle {}f}$ auch algebraisch über ${\displaystyle {}K'}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung und ${\displaystyle {}f\in L}$ ein nicht algebraisches Element. Zeige, dass dann eine Isomorphie

${\displaystyle K(X)\longrightarrow K(f)}$

von Körpern vorliegt.

Es seien ${\displaystyle {}p}$ und ${\displaystyle {}q}$ zwei verschiedene Primzahlen. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {q}}]}$ ein Unterkörper von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ ist, der über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ den Grad vier besitzt.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein endlicher Körper. Zeige, dass die Anzahl der Elemente von ${\displaystyle {}K}$ die Potenz einer Primzahl ist.

Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n}$ eine Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ vom Grad ${\displaystyle {}n}$ gibt.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {11}}]}$ das Inverse von ${\displaystyle {}3+5{\sqrt {11}}}$.

Betrachte den Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)=\{0,1,2,...,12\}}$ mit ${\displaystyle {}13}$ Elementen.

1. Zeige, dass ${\displaystyle {}5}$ kein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)}$ ist und folgere, dass

   ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)[X]/(X^{2}-5)=:\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]\,}$

   ein Körper ist.

2. Betrachte die quadratische Körpererweiterung

   ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)\subset \mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]\,}$

   und berechne

   ${\displaystyle (2+3{\sqrt {5}})(1+11{\sqrt {5}})(10+7{\sqrt {5}})}$

3. Finde das Inverse zu ${\displaystyle {}7+3{\sqrt {5}}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]}$.
4. Zeige, dass ${\displaystyle {}-5}$ kein Quadrat in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)}$ ist, dafür aber in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)[{\sqrt {5}}]}$.

Führe in ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}])[X]}$ die Division mit Rest „${\displaystyle {}P}$ durch ${\displaystyle {}T}$“ für die beiden Polynome ${\displaystyle {}P=3X^{3}-(2+{\sqrt {3}})X^{2}+5{\sqrt {3}}X+1+2{\sqrt {3}}}$ und ${\displaystyle {}T={\sqrt {3}}X^{2}-X+2+7{\sqrt {3}}}$ durch.

Bestimme das Minimalpolynom von

${\displaystyle {\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.