Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme eine ganze Zahl $n$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 +3 x + { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\Q[\sqrt{n}]}{} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in $\Q[ { \mathrm i} ]$ das multiplikative Inverse von
\mathdisp {\frac{3}{7} + \frac{2}{5} { \mathrm i}} { . }
Die Antwort muss in der Form $p+q { \mathrm i}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p,q
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in gekürzter Form sein.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{.}
Zeige, dass dann auch $K[ { \mathrm i} ]$ ein Unterkörper von ${\mathbb C}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der Charakteristik $\neq 2$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren
$K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{}
\maabb {} { L } { L
} {} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Sind die beiden
$\R$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A
}
{ =} { \R[X] / { \left( X^2 -X+5 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B
}
{ =} { \R[Y] / { \left( Y^2+3Y+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { \R[X] / { \left( X^2+3X+5 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L
}
{ =} { \R[Y] / { \left( Y^2+4Y+7 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Stifte einen expliziten
$\R$-\definitionsverweis {Algebraisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { K } { L
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K \subset K' \, (\subseteq \R)}{} eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[ { \mathrm i} ]
}
{ \subset }{ K'[{ \mathrm i}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine quadratische Körpererweiterung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zeige, dass
\mathdisp {{ \left\{ x \in K^{\times} \mid x \text{ besitzt eine Quadratwurzel in } K \right\} }} { }
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
$K^{\times}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die Gruppe
\mathdisp {{ \left\{ x \in K^{\times} \mid x \text{ besitzt eine Quadratwurzel in } K \right\} }} { }
für die
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathdisp {K=\Q,\, \R,\, {\mathbb C} ,\, \Z/( 2 ) ,\, \Z/( 3 ) ,\, \Z/( 5 ) ,\, \Z/( 7 ) ,\, \Z/(11)} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} {\Q [\sqrt{p}]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
von $\Q$. Zeige, dass die Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die
\zusatzklammer {in $K$} {} {}
eine
\definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{}
besitzen, von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { y^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { pz^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{}
der komplexen Zahlen,
\mathkor {} {K = \Q[ \sqrt{p}, { \mathrm i} ]} {und} {L = \Q[ \sqrt{p} , \sqrt{- p}]} {.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p,q
}
{ \in }{ \Q_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \sqrt{p} + \sqrt{q}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzweiabc{Zeige, dass es ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { X^4 + c X^2 + d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}{Es seien nun zusätzlich
\mathkor {} {p} {und} {q} {}
verschiedene Primzahlen. Zeige, dass das Polynom $G$ aus Teil a) das Minimalpolynom zu $f$ ist.
}
}
{} {}
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Koeffizienten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_{ij}
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann nennt man die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} {(c_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Übergangsmatrix}{} zum Basiswechsel von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ w }$.
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset} {\Q[\sqrt{5}, \sqrt{7}]
}
{ =} { L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass einerseits
\mathl{1, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{35}}{} und andererseits
\mathbed {(\sqrt{5}+ \sqrt{7})^{i}} {}
{i=0,1,2,3} {}
{} {} {} {,}
eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$ bildet. Berechne die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
für diese Basen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$p$, wobei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
sei. Es sei
\mathbed {x \in L} {}
{x \not\in K} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[x]
}
{ = }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
von
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$23$ ist. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { L \cap \R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Zeige, dass entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[\sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{7}]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl.
\aufzaehlungvierabc{Bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[ \sqrt[3]{p} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man gebe auch eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p} ]}{} an.
}{Zeige, dass in
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p}]}{} alle Elemente der Form
\mathkor {} {m^3 p} {und} {n^3 p^2} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine dritte Wurzel besitzen.
}{Die rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitze in
\mathl{\Q[ \sqrt[3]{p}]}{} eine dritte Wurzel. Zeige, dass $x$ die Form
\mathdisp {x= k^3 \text{ oder } x= m^3 p \text{ oder } x =n^3 p^2} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k,m,n
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}{Es sei nun $q$ eine weitere, von $p$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[ \sqrt[3]{p}, \sqrt[3]{q} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R
}
{ \subseteq }{ \R(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $\R(X)$ den
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
bezeichnet, nicht
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass es einen
\zusatzklammer {injektiven} {} {}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabb {} { L } { {\mathbb C}
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $F$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} mit $p^2$ Elementen. Welche
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} zwischen
\mathl{\Z/(p^2)}{} und $F$ gibt es? Man betrachte beide Richtungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \subseteq} { K ^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der Quadrate. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K ^{\times}/ Q
}
{ \cong} { \{ 1, -1 \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Man folgere, dass das Produkt von zwei Nichtquadraten ein Quadrat ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in ${\mathbb F}_{ 9 }$ für jedes Element $\neq 0$ die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Gehe zur Seite \einrueckung{Endliche Körper/Nicht Primkörper/Einige Operationstafeln} und erstelle für einen der dort angegebenen Körper Additions- und Multiplikationstafeln.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[\sqrt{5}, \sqrt[3]{2}]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {\Q \subseteq K \subset {\mathbb C}} {und} {\Q \subseteq L \subset {\mathbb C}} {}
zwei
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{}
von $\Q$ vom Grad
\mathkor {} {d} {bzw.} {e} {.} Es seien
\mathkor {} {d} {und} {e} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K \cap L
}
{ =} { \Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (4+1+1)}
{
Es sei $p$ eine Primzahl.
\aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^4-p}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
über $\Q$ ist.
}{ Schließe daraus, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Q[\sqrt[4]{ p } ]
}
{ \subseteq} { \R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$ den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
vier besitzt.
}{Finde einen echten Zwischenkörper
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { K
}
{ \subseteq} {\Q[\sqrt[4]{ p } ]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mathbed {q=p^n} {}
{n \geq 2} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass
\mathl{\Z/(p^n)}{} kein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über
\mathl{\Z/(p)}{} sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Bestimme in ${\mathbb F}_{ 25 }$ für jedes Element $\neq 0$ die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{.}
}
{} {}