Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 24

Bestimme eine ganze Zahl ${\displaystyle {}n}$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}+3x+{\frac {7}{3}}=0\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]}$ liegen.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}$ das multiplikative Inverse von

${\displaystyle {\frac {3}{7}}+{\frac {2}{5}}{\mathrm {i} }.}$

Die Antwort muss in der Form ${\displaystyle {}p+q{\mathrm {i} }}$ mit ${\displaystyle {}p,q\in \mathbb {Q} }$ in gekürzter Form sein.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq \mathbb {R} }$ ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch ${\displaystyle {}K[{\mathrm {i} }]}$ ein Unterkörper von ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}\neq 2}$ und sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren ${\displaystyle {}K}$- Algebraautomorphismus ${\displaystyle {}L\rightarrow L}$ gibt.

Sind die beiden ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$- Algebren

${\displaystyle {}A=\mathbb {R} [X]/{\left(X^{2}-X+5\right)}\,}$

und

${\displaystyle {}B=\mathbb {R} [Y]/{\left(Y^{2}+3Y+1\right)}\,}$

zueinander isomorph?

Es sei

${\displaystyle {}K=\mathbb {R} [X]/{\left(X^{2}+3X+5\right)}\,}$

und

${\displaystyle {}L=\mathbb {R} [Y]/{\left(Y^{2}+4Y+7\right)}\,.}$

Stifte einen expliziten ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$- Algebraisomorphismus

${\displaystyle K\longrightarrow L.}$

Es sei ${\displaystyle {}K\subset K'\,(\subseteq \mathbb {R} )}$ eine reell-quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch ${\displaystyle {}K[{\mathrm {i} }]\subset K'[{\mathrm {i} }]}$ eine quadratische Körpererweiterung ist.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper. Zeige, dass

${\displaystyle {\left\{x\in K^{\times }\mid x{\text{ besitzt eine Quadratwurzel in }}K\right\}}}$

eine Untergruppe der Einheitengruppe ${\displaystyle {}K^{\times }}$ ist.

Beschreibe die Gruppe

${\displaystyle {\left\{x\in K^{\times }\mid x{\text{ besitzt eine Quadratwurzel in }}K\right\}}}$

für die Körper

${\displaystyle K=\mathbb {Q} ,\,\mathbb {R} ,\,{\mathbb {C} },\,\mathbb {Z} /(2),\,\mathbb {Z} /(3),\,\mathbb {Z} /(5),\,\mathbb {Z} /(7),\,\mathbb {Z} /(11).}$

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und

${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {p}}]\,}$

die zugehörige Körpererweiterung von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$. Zeige, dass die Elemente ${\displaystyle {}x\in K}$, die (in ${\displaystyle {}K}$) eine Quadratwurzel besitzen, von der Form

${\displaystyle {}x=y^{2}\,}$

mit ${\displaystyle {}y\in \mathbb {Q} }$ oder von der Form

${\displaystyle {}x=pz^{2}\,}$

mit ${\displaystyle {}z\in \mathbb {Q} }$ sind.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl. Wir betrachten die Unterkörper der komplexen Zahlen, ${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\mathrm {i} }]}$ und ${\displaystyle {}L=\mathbb {Q} [{\sqrt {p}},{\sqrt {-p}}]}$. Zeige ${\displaystyle {}K=L}$.

Es seien ${\displaystyle {}p,q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}}$ und sei

${\displaystyle {}f={\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\,.}$

a) Zeige, dass es ein Polynom ${\displaystyle {}Q\in \mathbb {Q} [X]}$ der Form

${\displaystyle {}G=X^{4}+cX^{2}+d\,}$

mit ${\displaystyle {}G(f)=0}$ gibt.

b) Es seien nun zusätzlich ${\displaystyle {}p}$ und ${\displaystyle {}q}$ verschiedene Primzahlen. Zeige, dass das Polynom ${\displaystyle {}G}$ aus Teil a) das Minimalpolynom zu ${\displaystyle {}f}$ ist.

Betrachte die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]=L\,.}$

Zeige, dass einerseits ${\displaystyle {}1,{\sqrt {5}},{\sqrt {7}},{\sqrt {35}}}$ und andererseits ${\displaystyle {}({\sqrt {5}}+{\sqrt {7}})^{i}}$, ${\displaystyle {}i=0,1,2,3}$, eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Basis von ${\displaystyle {}L}$ bildet. Berechne die Übergangsmatrizen für diese Basen.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung vom Grad ${\displaystyle {}p}$, wobei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl sei. Es sei ${\displaystyle {}x\in L}$, ${\displaystyle {}x\not \in K}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}K[x]=L}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}L\subseteq {\mathbb {C} }}$ ein Unterkörper derart, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ eine Körpererweiterung von Grad ${\displaystyle {}23}$ ist. Es sei

${\displaystyle {}K=L\cap \mathbb {R} \,}$

Zeige, dass entweder ${\displaystyle {}K=\mathbb {Q} }$ oder ${\displaystyle {}K=L}$ ist.

Bestimme den Grad von

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{3}},{\sqrt[{3}]{7}}]\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl.

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\,.}$

Man gebe auch eine ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Basis von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]}$ an.

b) Zeige, dass in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]}$ alle Elemente der Form ${\displaystyle {}m^{3}p}$ und ${\displaystyle {}n^{3}p^{2}}$ mit ${\displaystyle {}m,n\in \mathbb {Q} }$ eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl ${\displaystyle {}x\in \mathbb {Q} }$ besitze in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]}$ eine dritte Wurzel. Zeige, dass ${\displaystyle {}x}$ die Form

${\displaystyle x=k^{3}{\text{ oder }}x=m^{3}p{\text{ oder }}x=n^{3}p^{2}}$

mit ${\displaystyle {}k,m,n\in \mathbb {Q} }$ besitzt.

d) Es sei nun ${\displaystyle {}q}$ eine weitere, von ${\displaystyle {}p}$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,.}$

Zeige, dass die Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} (X)}$, wobei ${\displaystyle {}\mathbb {R} (X)}$ den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.

Es sei ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass es einen (injektiven) Ringhomomorphismus ${\displaystyle {}L\rightarrow {\mathbb {C} }}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}F}$ ein Körper mit ${\displaystyle {}p^{2}}$ Elementen. Welche Ringhomomorphismen zwischen ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{2})}$ und ${\displaystyle {}F}$ gibt es? Man betrachte beide Richtungen.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein endlicher Körper der Charakteristik ${\displaystyle {}\neq 2}$. Es sei

${\displaystyle {}Q\subseteq K^{\times }\,}$

die Untergruppe der Quadrate. Zeige

${\displaystyle {}K^{\times }/Q\cong \{1,-1\}\,.}$

Man folgere, dass das Produkt von zwei Nichtquadraten ein Quadrat ist.

Bestimme in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{9}}$ für jedes Element ${\displaystyle {}\neq 0}$ die multiplikative Ordnung.

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Endliche Körper/Nicht Primkörper/Einige Operationstafeln

und erstelle für einen der dort angegebenen Körper Additions- und Multiplikationstafeln.

Bestimme den Grad von

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt[{3}]{2}}]\,.}$

Es seien ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K\subset {\mathbb {C} }}$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L\subset {\mathbb {C} }}$ zwei endliche Körpererweiterungen von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ vom Grad ${\displaystyle {}d}$ bzw. ${\displaystyle {}e}$. Es seien ${\displaystyle {}d}$ und ${\displaystyle {}e}$ teilerfremd. Zeige, dass dann

${\displaystyle {}K\cap L=\mathbb {Q} \,}$

ist.

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl.

a) Zeige, dass das Polynom ${\displaystyle {}X^{4}-p}$ irreduzibel über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist.

b) Schließe daraus, dass

${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\subseteq \mathbb {R} \,}$

über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ den Grad vier besitzt.

c) Finde einen echten Zwischenkörper

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{p}}]\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle {}q=p^{n}}$, ${\displaystyle {}n\geq 2}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p^{n})}$ kein Vektorraum über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ sein kann.

Bestimme in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{25}}$ für jedes Element ${\displaystyle {}\neq 0}$ die multiplikative Ordnung.