Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Arbeitsblatt 23

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${\displaystyle {}2+5{\mathrm {i} }}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${\displaystyle {}{\sqrt {2}}-{\sqrt {5}}}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung und sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ ein Polynom. Zeige: ${\displaystyle {}P}$ besitzt genau dann eine Nullstelle in ${\displaystyle {}L}$, wenn es einen ${\displaystyle {}K}$- Algebrahomomorphismus ${\displaystyle {}K[X]/(P)\rightarrow L}$ gibt.

Es sei ${\displaystyle {}K\subseteq L}$ eine Körpererweiterung und sei ${\displaystyle {}f\in L}$ ein Element. Zeige: ${\displaystyle {}f}$ ist genau dann algebraisch über ${\displaystyle {}K}$, wenn ${\displaystyle {}K[f]=K(f)}$ ist.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-7)}$ das Inverse von ${\displaystyle {}3x+4}$ (${\displaystyle {}x}$ bezeichnet die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Bestimme das Inverse von ${\displaystyle {}4x-7}$ im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}-11\right)}}$ (${\displaystyle {}x}$ bezeichnet die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$) über ein lineares Gleichungssystem im Sinne von Bemerkung 23.7.

Es sei ${\displaystyle {}z=a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }}$, ${\displaystyle {}a,b\in \mathbb {R} }$, eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl ${\displaystyle {}{\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} }}$ sowie der Real- und der Imaginärteil von ${\displaystyle {}z}$ algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung

${\displaystyle {}{\mathbb {A} }\cap \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {A} }\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}\epsilon ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}}$ die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}]=L\subseteq {\mathbb {C} }\,.}$

a) Bestimme das Minimalpolynom von ${\displaystyle {}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}}$.

b) Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L}$ gleich ${\displaystyle {}3}$ ist.

c) Zeige, dass die komplexe Konjugation nicht ${\displaystyle {}L}$ in ${\displaystyle {}L}$ überführt.

Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {A} }$ keine endliche Körpererweiterung von ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ ist.

a) Man gebe eine Gerade ${\displaystyle {}G}$ in der Ebene ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}={\mathbb {C} }}$ an, die keine algebraische Zahl enthält.

b) Man gebe einen Kreis ${\displaystyle {}K}$ in der Ebene ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}={\mathbb {C} }}$ an, der keine algebraische Zahl enthält.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {11}}]}$ das Inverse von ${\displaystyle {}3+5{\sqrt {11}}}$.

Bestimme das Inverse von

${\displaystyle 2+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}+3{\sqrt {35}}}$

im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt {7}}]}$.

Bestimme das Inverse von ${\displaystyle {}2x^{2}+3x-1}$ im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-5\right)}}$ (${\displaystyle {}x}$ bezeichnet die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$).

Bestimme das Inverse von ${\displaystyle {}3x^{2}-4x+5}$ im Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-7\right)}}$ (${\displaystyle {}x}$ bezeichnet die Restklasse von ${\displaystyle {}X}$) über ein lineares Gleichungssystem im Sinne von Bemerkung 23.7.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}L=K(X)}$ der rationale Funktionenkörper über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass es zu jedem ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ einen Ringhomomorphismus ${\displaystyle {}\varphi \colon L\rightarrow L}$ derart gibt, dass ${\displaystyle {}L\cong \varphi (L)\subseteq L}$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${\displaystyle {}n}$ ist.

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl ${\displaystyle {}2{\mathrm {i} }-3{\sqrt {3}}}$ über ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.