Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen

Die Cauchy-Ungleichungen sind wichtige Konsequenzen der Cauchy-Integralformel in der komplexen Analysis. Sie geben Abschätzungen für die Ableitungen einer holomorphen Funktion ${\displaystyle f}$ in Abhängigkeit von den Werten der Funktion ${\displaystyle |f|}$ auf einem Kreisrand. Mit der Erweiterung der Cauchy-Ungleichung (am Ende als Aufgabe formuliert) kann auch innere Punkte der betrachteten Kreisschreibe gegen eine Term in Abhängigkeit Werte von ${\displaystyle |f|}$ auf einem Kreisrand abschätzen.

Sei ${\displaystyle f}$ eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$, und sei ${\displaystyle {\overline {D_{r}(z_{0})}}\subseteq G}$ ein abgeschlossener Kreis mit Radius ${\displaystyle r}$ und Mittelpunkt ${\displaystyle z_{0}}$. Dann gilt für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$:

${\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\max _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|}$

Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte

• Anwendung der Cauchy-Integralformel
• Abschätzung des Integrals
• Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral:
• Schlussfolgerung:

Die Cauchy-Integralformel besagt, dass für eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$ und einen Punkt ${\displaystyle z_{0}}$ innerhalb eines Gebiets ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle f^{(n)}(z_{0})={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}\,dz}$

wobei ${\displaystyle \int _{|z-z_{0}|=r}}$ das Integral über den Kreis mit Radius ${\displaystyle r}$ und Mittelpunkt ${\displaystyle z_{0}}$ bezeichnet.

Betrachte den Betrag der ${\displaystyle n}$-ten Ableitung:

${\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|=\left|{\frac {n!}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}\,dz\right|}$

Durch Anwendung der Standabschätzung des Integrals für den Betrag der ${\displaystyle f}$ auf dem Kreis ${\displaystyle |z-z_{0}|=r}$ erhält man:

${\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{2\pi }}\int _{|z-z_{0}|=r}\left|{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}\right|\,dz}$

Da ${\displaystyle f}$ eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere ${\displaystyle |f|}$ eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer kompakten Menge (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei ${\displaystyle M:=\max _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|}$. Dann gilt mit den Abschätzungen für Wegintegrale für ${\displaystyle \gamma (t):=z_{0}+r\cdot e^{it}}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}|f^{(n)}(z_{0})|&\leq &\displaystyle {\frac {n!}{2\pi }}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {|f(z)|}{{\underbrace {|z-z_{0}|} _{=r}}^{n+1}}}\,dz\\&\leq &\displaystyle {\frac {n!}{2\pi }}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {M}{r^{n+1}}}\,dz={\frac {n!}{2\pi }}\cdot {\frac {M}{r^{n+1}}}\int _{|z-z_{0}|=r}1\,dz\\&\leq &{\frac {n!}{2\pi }}\cdot {\frac {M}{r^{n+1}}}\cdot {\mathcal {L}}(\gamma )={\frac {n!}{2\pi }}\cdot {\frac {M}{r^{n+1}}}\cdot 2\pi r={\frac {n!}{r^{n}}}\cdot M\end{array}}}$

Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius ${\displaystyle r}$ und Maximum der Funktion ${\displaystyle |f|}$ auf dem Kreisrand abhängt:

${\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\max _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|}$

Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung.

In der folgenden Aufgabe soll die Cauchy-Ungleichung für ${\displaystyle z\in D_{r}(z_{0})}$ erweitern. Zusätzlich zur Bedingung ${\displaystyle z\in D_{r}(z_{0})}$ soll ${\displaystyle z}$ mindestens den Abstand ${\displaystyle \delta >0}$ vom Kreisrand besitzen, d.h. ${\displaystyle |z-z_{0}|\leq r-\delta }$. Zeigen Sie folgende Erweiterung der obigen Aussage:

${\displaystyle |f^{(n)}(z)|\leq {\frac {n!\cdot r}{\delta ^{n+1}}}\cdot \max _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|}$

Verwenden Sie ein analoges Vorgehen zum obigen Beweis der Cauchy-Ungleichung.

Die Cauchy-Ungleichungen sind nützlich, um die Wachstumsrate der Ableitungen einer holomorphen Funktion in Abhängigkeit von den Werten der Funktion auf einem Kreis abzuschätzen. Ferner ergeben sich darüber auch Schranken für Taylorreihen auf abgeschlossenen Kreisschreiben ${\displaystyle D_{r}(z_{0})}$ mit Entwicklungspunkt ${\displaystyle z_{o}\in \mathbb {C} }$.

• Ungleichungen für Wegintegrale

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