Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen

Ungleichungen sind ein wesentliches Hilfsmittel um zentrale Aussage in der Funktionentheorie zu zeigen. Da ${\displaystyle \mathbb {C} }$ keine vollständige/totale Ordnung besitzt, muss man für Abschätzungen auf den Betrag der Funktionen übergehen.

Sei ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {C} }$ stückweise stetig mit ${\displaystyle f_{1}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f_{2}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle f=f_{1}+i\cdot f_{2}}$, dann gilt:

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(t)\,dt\right|\leq \int _{a}^{b}|f_{1}(t)|\,dt+\int _{a}^{b}|f_{2}(t)|\,dt}$

Führen Sie den Beweis für UG.RI aus. Der Beweis erfolgt durch Zerlegung in Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion, Linearität des Integrals und der Anwendung der Dreiecksungleichung.

Sei ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {C} }$ stückweise stetig, dann gilt:^[1]

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(t)\,dt\right|\leq \int _{a}^{b}|f(t)|\,dt}$

Der Beweis wird über eine Fallunterscheidung geführt mit:

• (BI-1) ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=0}$
• (BI-2)${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt\not =0}$

Mit ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=0}$ folgt ${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(t)\,dt\right|=0}$. Da ${\displaystyle |f(t)|\geq 0}$ folgt ${\displaystyle \int _{a}^{b}|f(t)|\,dt\geq 0}$ und man erhält:

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(t)\,dt\right|=0\leq \int _{a}^{b}|f(t)|\,dt}$

Das Integral ${\displaystyle \beta =\int _{a}^{b}f(t)\,dt\in \mathbb {C} }$ ist eine komplexe Zahl mit ${\displaystyle \beta \not =0}$, für die gilt mit ${\displaystyle |\beta |={\sqrt {\beta \cdot {\overline {\beta }}}}}$:

${\displaystyle |\beta |={\frac {|\beta |^{2}}{|\beta |}}={\frac {\beta \cdot {\overline {\beta }}}{|\beta |}}=\underbrace {\frac {\overline {\beta }}{|\beta |}} _{\alpha :=}\cdot \beta =\alpha \cdot \beta }$

Mit ${\displaystyle \beta \not =0}$ erhält durch die Anwendung der Linearität des Integrals:

${\displaystyle |\beta |=\alpha \cdot \beta =\alpha \cdot \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\int _{a}^{b}\alpha \cdot f(t)\,dt}$

Sei ${\displaystyle g:=\alpha \cdot f}$ und ${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow \mathbb {C} }$ stückweise stetig mit ${\displaystyle g_{1}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle g_{2}:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle g=g_{1}+i\cdot g_{2}}$, dann gilt mit der Linearität des Integrals:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathfrak {Re}}{\bigg (}\int _{a}^{b}g(t)\,dt{\bigg )}&=&{\mathfrak {Re}}{\bigg (}\underbrace {\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt} _{\in \mathbb {R} }+i\cdot \underbrace {\int _{a}^{b}g_{2}(t)\,dt} _{\in \mathbb {R} }{\bigg )}\\&=&{\mathfrak {Re}}{\bigg (}\underbrace {\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt} _{\in \mathbb {R} }{\bigg )}=\int _{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\\&=&\int _{a}^{b}{\mathfrak {Re}}(g_{1}(t))\,dt\\\end{array}}}$

Weil ${\displaystyle |\beta |=\int _{a}^{b}\alpha \cdot f(t)\,dt\in \mathbb {R} }$ gilt, erhält man mit der obigen Rechenregel aus Schritt 3 für den Realteil:

${\displaystyle |\beta |={\mathfrak {Re}}{\bigg (}\underbrace {\int _{a}^{b}\alpha \cdot f(t)\,dt} _{\in \mathbb {R} }{\bigg )}=\int _{a}^{b}\underbrace {{\mathfrak {Re}}\left(\alpha \cdot f(t)\right)} _{\in \mathbb {R} }\,dt}$

Die folgende Realteilabschätzung gegen den Betrag einer komplexen Zahl ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\mathfrak {Re}}(z)=z_{1}\leq |z_{1}|={\sqrt {z_{1}^{2}}}\leq {\sqrt {z_{1}^{2}+z_{2}^{2}}}=|z|}$

für ${\displaystyle z=z_{1}+i\cdot z_{2}}$ wird nun auf den Integranden des obigen Integrals ${\displaystyle \underbrace {{\mathfrak {Re}}\left(\alpha \cdot f(t)\right)} _{\in \mathbb {R} }}$ angewendet.

Die folgende Abschätzung ergibt analog zu Schritt 5 über die Linearität des Integrals

${\displaystyle |\beta |=\int _{a}^{b}{\mathfrak {Re}}\left(\alpha \cdot f(t)\right)\,dt\leq \int _{a}^{b}\left|\alpha \cdot f(t)\right|\,dt=|\alpha |\cdot \int _{a}^{b}\left|f(t)\right|\,dt}$

Da ${\displaystyle |\alpha |=\left|{\frac {\overline {\beta }}{|\beta |}}\right|={\frac {|{\overline {\beta }}|}{|\beta |}}=1}$ gilt, erhält man insgesamt die gesuchte Abschätzung:

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(t)\,dt\right|=\alpha \cdot \int _{a}^{b}|f(t)|\,dt\leq |\alpha |\cdot \int _{a}^{b}|f(t)|\,dt=\int _{a}^{b}|f(t)|\,dt}$

q.e.d.

Sei ${\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {C} }$ ein Integrationsweg und ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} }$ auf der Spur von ${\displaystyle \gamma }$ stetige Funktion (${\displaystyle Spur(\gamma ):=\{\gamma (t)\,:\,t\in [a,b]\}\subset U}$). Dann gilt:

${\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\,dz\right|\leq \max _{z\in Spur(\gamma )}|f(z)|\cdot {\mathcal {L}}(\gamma )}$

Dabei ist ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|\,dt}$ die Länge des Integrals.

Durch Verwendung der obigen Abschätzung nach oben durch ${\displaystyle \left|f(z)\,dz\right|\leq \max _{z\in Spur(\gamma )}|f(z)|}$ und der Verwendung des Ungleichung (UG-BI) erhält man.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\,dz\right|&{\stackrel {UG-BI}{\leq }}&\displaystyle \int _{a}^{b}\left|f(\gamma (t))\cdot \gamma {\,}'(t)\right|\,dt=\int _{a}^{b}\left|f(\gamma (t))\right|\cdot \left|\gamma {\,}'(t)\right|\,dt\\&\leq &\displaystyle \int _{a}^{b}\underbrace {\max _{z\in Spur(\gamma )}|f(z)|} _{M:=}\cdot |\gamma {\,}'(t)|\,dt=M\cdot \int _{\gamma }|\gamma {\,}'(t)|\,dt\\&=&\displaystyle M\cdot {\mathcal {L}}(\gamma )\\\end{array}}}$

• rektifizierbare Kurve
• Cauchy-Ungleichungen

1. ↑ Funktionentheorie, Fischer, W., Lieb, W. (1988) Vieweg, S. 37

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