Kurs:Funktionentheorie/Harmonische Funktion

Sei ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ offen, eine Funktion ${\displaystyle u\colon U\to \mathbb {R} }$ heißt harmonisch, wenn sie zweimal differenzierbar ist und

${\displaystyle \Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0}$

gilt.

Der Realteil einer holomorphen Funktion ist harmonisch, wie aus den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen folgt, interessanterweise gilt auch die Umkehrung, d. h. jede harmonische Funktion ist Realteil einer holomorphen Funktion.

Sei ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ einfach zusammenhängend. Für ${\displaystyle u\in C^{2}(U,\mathbb {R} )}$ sind äquivalent:

1. ${\displaystyle \Delta u=0}$
2. Es gibt ein ${\displaystyle v\in C^{2}(U,\mathbb {R} )}$, so dass ${\displaystyle u+iv}$ holomorph ist.

2. ${\displaystyle \implies }$ 1. Nach den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen gilt:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\\&={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)\\&={\frac {\partial ^{2}v}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y\partial x}}\\&=0.\end{array}}}$

1. ${\displaystyle \implies }$ 2. Betrachte die Funktion ${\displaystyle \textstyle g:={\frac {\partial u}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}}$. Nach den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen ist ${\displaystyle g}$ holomorph. Da ${\displaystyle U}$ einfach zusammenhängend ist, gibt es eine Stammfunktion ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ von ${\displaystyle g}$, wir dürfen (durch Addition einer Konstante) annehmen, dass ${\displaystyle u(z_{0})=f(z_{0})}$ für ein ${\displaystyle z_{0}\in U}$ gilt. Schreibe ${\displaystyle f=u_{1}+iv_{1}}$. Es ist

${\displaystyle {\frac {\partial u_{1}}{\partial x}}-i{\frac {\partial u_{1}}{\partial y}}=f'=g={\frac {\partial u}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}}$

also ist ${\displaystyle u_{1}-u}$ konstant. Wegen ${\displaystyle u_{1}(z_{0})=f(z_{0})=u(z_{0})}$ ist ${\displaystyle u_{1}=u}$ und ${\displaystyle v:=v_{1}}$ leistet das Gewünschte.