Kurs:Funktionentheorie/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit

Die Funktion

${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,}$ mit ${\displaystyle x\mapsto f(x)=|x|\cdot x}$

kann einmal reell differenzieren. Die erste Abbleitung ist aber in 0 nicht mehr differenzierbar.

• Skizzieren Sie den Graphen der Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle f'}$.
• Lässt sich die Funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,}$ zu einer holomorphen Funktion ${\displaystyle F:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} ,}$ erweitern, bei der ${\displaystyle F_{|\mathbb {R} }=f}$ (d.h. für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ gilt ${\displaystyle f(x)=F(x)}$? Begründen Sie Ihre Antwort mit den Eigenschaften holomorpher Funktionen!
• Zeigen Sie, dass Funktion

${\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,}$ mit ${\displaystyle x\mapsto f(x)=|x|\cdot x^{n}}$

kann ${\displaystyle n}$-fach reell differenziert werden kann. Die ${\displaystyle n+1}$-te Abbleitung ist aber in 0 nicht mehr differenzierbar.

In der komplexen Analysis (Funktionentheorie) wird man sehen, dass eine auf ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ holomorphe Funktion ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ automatisch ununendlich oft komplex differenzierbar ist, wenn diese bereits einmal auf ${\displaystyle U}$ komplex differenzierbar ist (siehe Holomorphiekriterien).

• Kurs:Funktionentheorie