Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül

Bei dem Wirtinger-Kalkül handelt es sich um einen mathematischen Kalkül aus der Funktionentheorie. Der Wirtinger-Kalkül ist nach dem Mathematiker Wilhelm Wirtinger benannt. Mit Hilfe dieser Objekte kann die Darstellung komplexer Ableitungen übersichtlicher gestaltet werden.

Eine komplexe Zahl ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ wird durch ${\displaystyle z:=x+\mathrm {i} y}$ in zwei reelle Zahlen zerlegt. Für die folgende Funktion

${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} \,{\mbox{ }}\,(x,y)\to f(x,y)}$

sei ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ein Gebiet.

Die Funktion ${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$ wird nun in die Realteil- und Imaginärteilfunktion ${\displaystyle f=u+\mathrm {i} v\colon G\to \mathbb {C} }$ zerlegt.

Die Realteilfunktion

${\displaystyle u:G\to \mathbb {R} \,{\mbox{ }}\,(x,y)\to u(x,y)}$

und die Imaginärteilfunktion

${\displaystyle v:G\to \mathbb {R} \,{\mbox{ }}\,(x,y)\to v(x,y)}$

sind jeweils eine (reell) differenzierbare Funktion.

Die partiellen Ableitungen von ${\displaystyle f}$ existieren und können als Linearkombination der partielle Ableitungen von ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ wie folgt geschrieben werden:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y)+\mathrm {i} {\frac {\partial v}{\partial x}}(x,y)}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial u}{\partial y}}(x,y)+\mathrm {i} {\frac {\partial v}{\partial y}}(x,y)}$.

Im nächsten Abschnitt werden nun die Wirtinger-Ableitungen eingeführt, welche ebenfalls partielle Differentialoperatoren sind. Jedoch sind diesWikipedia Authorse einfacher zu berechnen, da die komplexwertige Funktion nicht in Real- und Imaginärteil zerlegt werden muss. Statt der Koordinaten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ verwendet man ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$ und ${\displaystyle {\bar {z}}=x-\mathrm {i} y}$.

Sei ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{2}}$ eine offene wegzusammenhängende Menge und ${\displaystyle f:G\rightarrow \mathbb {C} }$ eine Funktion, die in einer Umgebung ${\displaystyle U\subseteq G}$ von ${\displaystyle z_{o}}$. Dann versteht man unter der Richtungsableitung von ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle z_{o}=(x_{o},y_{o})\in \mathbb {R} ^{2}}$ in Richtung des Vektors ${\displaystyle v=(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}}$ den Limes

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial v}}(z_{o}):=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{o}+h\cdot v)-f(z_{o})}{h}}}$

• Der Limes muss existieren.
• Partielle Ableitung kann man as spezielle Ableitungen mit ${\displaystyle v=(1,0)}$ bzw. ${\displaystyle v=(0,1)}$ auffassen.
• Bei einer total differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f:G\rightarrow \mathbb {C} }$ lässt sich die Richtungsableitung als Skalarprodukt ${\displaystyle \langle v,Grad(f)(z_{o})\rangle }$ aus ${\displaystyle v}$ und dem Gradient von ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle z_{o}}$.

Aus den komplexen Zahlen ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$ und ${\displaystyle {\bar {z}}=x-\mathrm {i} y}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ übertragen ist ${\displaystyle z=(x,y)}$ und ${\displaystyle {\overline {z}}=(x,-y)}$. Die partiellen Ableitungen ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})}$ und ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})}$ sind komplexwertig. Damit definiert man bei einer total differenzierbaren Funktion ${\displaystyle f}$ die folgende Differentiale.

Eine Funktion ${\displaystyle f}$ ist in ${\displaystyle x_{o}+iy_{o}}$ genau dann komplex differenzierbar, wenn sie reell differenzierbar ist und für ${\displaystyle u,v}$ mit ${\displaystyle u:G\rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle v:G\rightarrow \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{2}}$ die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für ${\displaystyle z_{o}=(x_{o},y_{o})\in \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}(x_{o},y_{o})={\frac {\partial v}{\partial y}}(x_{o},y_{o})}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}(x_{o},y_{o})=-{\frac {\partial v}{\partial x}}(x_{o},y_{o})}$

erfüllt sind und ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})={\frac {\partial u}{\partial x}}(z_{o})+i\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}(z_{o})}$ bzw. ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})={\frac {\partial u}{\partial y}}(z_{o})+i\cdot {\frac {\partial v}{\partial y}}(z_{o})}$ gilt.

Definiert man mit CRG die so genannten Wirtinger-Ableitungen

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{o}):={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})-i\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})\right)}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{o}):={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})+i\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})\right),}$

so erhält man ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{o})=0}$ als ein Holomorphiekriterium.

Durch das Einsetzen der Wirtinger-Ableitungen erhält man jeweils die partielle Ableitungen mit:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{o})+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{o})\right)&=&{\frac {1}{2}}\cdot \left(\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})-i\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})\right)+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})+i\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})\right)\right)\\&=&{\frac {1}{2}}\cdot \left(2\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})\right)={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})\\{\frac {i}{2}}\cdot \left({\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{o})-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{o})\right)&=&{\frac {i}{2}}\cdot \left(\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})-i\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})\right)-\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})+i\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})\right)\right)\\&=&{\frac {i}{2}}\cdot \left(-2i\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})\right)={\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})\end{array}}}$

Insgesamt erhält man mit ${\displaystyle z=x+iy}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ über ${\displaystyle \textstyle x={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}})}$ und ${\displaystyle \textstyle y={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(z-{\bar {z}})={\frac {\mathrm {i} }{2}}({\bar {z}}-z)}$ die Darstellung von Realteil und Imaginärteil. Überträgt man die Gleichungen auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ so erhält man also mit ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{2}}$ und ${\displaystyle f:G\rightarrow \mathbb {C} }$ die partiellen Ableitungen

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{o})={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{o})+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{o})\right)\in \mathbb {C} }$

und

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{o})={\frac {i}{2}}\cdot \left({\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{o})-{\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{o})\right)\in \mathbb {C} }$

Für die Differentiale erhält man daraus

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {1}{2}}(\mathrm {d} z+\mathrm {d} {\bar {z}})}$ und ${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\mathrm {i} }{2}}(\mathrm {d} {\bar {z}}-\mathrm {d} z)}$.

Einsetzen in das totale Differential und Umsortieren liefert

${\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathrm {d} z+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathrm {d} {\bar {z}}}$.

Um (formal) die Beziehung ${\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\mathrm {d} {\bar {z}}}$ zu erhalten, setzt man

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$.

Dies sind die Wirtinger-Ableitungen.

Für ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial z}}}$ schreibt man auch kurz ${\displaystyle \,\partial f}$, für ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}}$ schreibt man ${\displaystyle {\bar {\partial }}f}$. Der Operator ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ heißt Cauchy-Riemann-Operator.

Mit Hilfe der partiellen Ableitungen schreibt sich das (totale) Differential von ${\displaystyle f}$ als

${\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y}$.

als Richtungsableitungen für ${\displaystyle v=(1,1)}$ und ${\displaystyle {\overline {v}}=(1,-1)}$ die Darstellung über die partiellen Ableitungen.

Der Wirtinger-Kalkül findet insbesondere in der Funktionentheorie Anwendung, da für holomorphe Funktionen die Notation sich auf ein Minimum reduziert. Außerdem ist dieser Kalkül sehr stabil, wie Eigenschaften 3 und 4 im nächsten Abschnitt zeigen.

Eine reell differenzierbare Funktion ist genau dann eine holomorphe Funktion, wenn ${\displaystyle {\overline {\partial }}f=0}$ gilt. In diesem Fall ist ${\displaystyle \partial f}$ die Ableitung von ${\displaystyle f}$. Dies gilt, da die Gleichung ${\displaystyle {\overline {\partial }}f=0}$ eine sehr kurze Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist. Aus diesem Grund trägt der Operator ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ den Namen Cauchy-Riemann-Operator.

Gilt hingegen für eine reell differenzierbare Funktion ${\displaystyle f}$ die Gleichung ${\displaystyle \partial f=0}$ so nennt man diese Funktion antiholomorph und das reelle Differential kann mit Hilfe von Eigenschaft 1 aus ${\displaystyle {\overline {\partial }}f}$ berechnet werden.

Es gelten die Gleichungen

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=\partial f+{\overline {\partial }}f}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=\mathrm {i} \left(\partial f-{\overline {\partial }}f\right)}$.

Die Operatoren ${\displaystyle \partial }$ und ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ sind ${\displaystyle \mathbb {C} }$-linear, das heißt für ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ und reell differenzierbare Funktionen ${\displaystyle f,g\colon G\to \mathbb {C} }$ gilt

${\displaystyle \partial (af+bg)=a\partial f+b\partial g}$

und

${\displaystyle {\overline {\partial }}(af+bg)=a{\overline {\partial }}f+b{\overline {\partial }}g}$.

Für jede reell differenzierbare Funktion ${\displaystyle f}$ gilt

${\displaystyle {\overline {\partial }}f={\overline {\partial {\overline {f}}}}}$

und

${\displaystyle {\overline {\partial }}\ {\overline {f}}={\overline {\partial f}}}$.

Für die Wirtinger-Ableitungen gilt die Kettenregel

${\displaystyle {\frac {\partial (g\circ f)}{\partial z}}(z_{0})={\frac {\partial g}{\partial w}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial f}{\partial z}}(z_{0})+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {w}}}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial {\overline {f}}}{\partial z}}(z_{0})}$

und

${\displaystyle {\frac {\partial (g\circ f)}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})={\frac {\partial g}{\partial w}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {w}}}}(f(z_{0}))\cdot {\frac {\partial {\overline {f}}}{\partial {\overline {z}}}}(z_{0})}$.

Das Hauptsymbol von ${\displaystyle \partial }$ ist ${\displaystyle \xi \mapsto {\tfrac {1}{2}}(\xi _{1}-\mathrm {i} \xi _{2})}$ und das Hauptsymbol von ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ ist ${\displaystyle \xi \mapsto {\tfrac {1}{2}}(\xi _{1}+\mathrm {i} \xi _{2})}$. Beide Differentialoperatoren sind also elliptisch.

Mit den Wirtinger-Ableitungen kann man den Laplace-Operator durch

${\displaystyle \Delta f=4\partial {\overline {\partial }}f=4{\overline {\partial }}\partial f}$

darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass der Operator

${\displaystyle D:=2{\begin{pmatrix}0&-\partial \\{\overline {\partial }}&0\end{pmatrix}}}$

ein Dirac-Operator ist.

Die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}}$ ist ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{\pi z}}}$, das heißt die durch die Funktion ${\displaystyle \textstyle u(z)={\frac {1}{\pi z}}}$ erzeugte Distribution löst die Gleichung ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}u(z)=\delta }$, wobei ${\displaystyle \delta }$ die Delta-Distribution ist. Eine Herleitung ist im Artikel Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen zu finden.

• Ingo Lieb & Wolfgang Fischer: Funktionentheorie: Komplexe Analysis in einer Veränderlichen, Vieweg & Teubner, 2005, ISBN 978-3-8348-0013-8.
• Ingo Lieb: The Cauchy-Riemann Complex, Vieweg Aspects of Mathematics, 2002, ISBN 978-3-528-06954-4.

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• Datum: 9.12.2024
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