Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität

Es sei ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ ein Gebiet und ${\displaystyle z_{0}\in G}$. Ist ${\displaystyle f\colon G\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion, so heißt ${\displaystyle z_{0}}$ eine isolierte Singularität von ${\displaystyle f}$.

Je nach dem Verhalten von ${\displaystyle f}$ in der Umgebung von ${\displaystyle z_{0}}$ unterscheidet man drei verschiedene Arten isolierter Singulariäten von ${\displaystyle f}$.

Ist ${\displaystyle f}$ auf das ganze Gebiet ${\displaystyle G}$ holomorph fortsetzbar, so sagt man, ${\displaystyle z_{0}}$ sei eine hebbare Singularität. Das ist nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz dann der Fall, wenn ${\displaystyle f}$ in einer Umgebung von ${\displaystyle z_{0}}$ beschränkt ist.

Ist ${\displaystyle z_{0}}$ keine hebbare Singularität, aber gibt es ein ${\displaystyle n\geq 1}$, so dass ${\displaystyle (\cdot -z_{0})^{n}\cdot f}$ eine hebbare Singularität in ${\displaystyle z_{0}}$ hat, so sagt man, ${\displaystyle f}$ habe einen Pol in ${\displaystyle z_{0}}$. Das kleinste solche ${\displaystyle n}$ heißt die Ordnung des Pols.

Ist ${\displaystyle z_{0}}$ weder hebbar noch ein Pol, so sagt man, ${\displaystyle z_{0}}$ sei eine wesentliche Singularität von ${\displaystyle f}$.

• Wegen ${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {\sin z}{z}}=1}$ hat die Funktion ${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {\sin z}{z}}}$ eine hebbare Singularität in ${\displaystyle z_{0}=0}$.
• Die Funktion ${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {1}{\sin z}}}$ hat in ${\displaystyle z_{0}=0}$ keine hebbare Singularität, da ${\displaystyle f_{2}}$ in ${\displaystyle 0}$ unbeschränkt ist, aber ${\displaystyle f_{2}}$ hat in ${\displaystyle 0}$ einen Pol erster Ordnung, da ${\displaystyle f_{2}(z)\cdot (z-0)^{1}=f_{2}(z)z={\frac {z}{\sin z}}}$ wegen ${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {z}{\sin z}}=1}$ in 0 eine hebbare Singularität hat.
• Die Funktion ${\displaystyle f_{3}(z)=\sin {\frac {1}{z}}}$ hat in ${\displaystyle z_{0}=0}$ eine wesentliche Singularität, da für jedes ${\displaystyle n\geq 1}$ die Funktion ${\displaystyle f_{3}(z)z^{n}=z^{n}\sin {\frac {1}{z}}}$ in jeder Umgebung der Null unbeschränkt ist. Um das einzusehen, betrachte ${\displaystyle \sin z^{-1}={\frac {e^{iz^{-1}}-e^{-iz^{-1}}}{2i}}}$. Für ${\displaystyle z=it}$ mit ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ist also ${\displaystyle f_{3}(it)(it)^{n}=(it)^{n}{\frac {e^{t^{-1}}-e^{-t^{-1}}}{2i}}}$, was für ${\displaystyle t\to 0^{+}}$ divergiert.

Die Art der isolierten Singularität lässt sich auch an der Laurententwicklung von ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle z_{0}}$ ablesen. Sei nämlich

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}}$

die Laurent-Reihe von ${\displaystyle f}$ um ${\displaystyle z_{0}}$. Wir setzen

${\displaystyle o_{z}(f)=\sup\{n\in \mathbb {Z} |\forall k<n:a_{k}=0\}}$.

Dann hat ${\displaystyle f}$ im Falle

• ${\displaystyle o_{z}(f)\geq 0}$, d.h. alle negativen Koeffizienten verschwinden, der Hauptteil der Reihe ist Null, eine hebbare Singularität
• ${\displaystyle -\infty <o_{z}(f)<0}$, d.h. nur endlich viele negative Koeffizienten sind von Null verschieden, einen Pol der Ordnung ${\displaystyle -o_{z}(f)}$
• ${\displaystyle o_{z}(f)=-\infty }$, d.h. unendlich viele negative Koeffizienten sind von Null verschieden, eine wesentliche Singularität.

Wir betrachten unsere drei Beispiele von oben noch einmal:

• Es ist ${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {\sin z}{z}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {z^{2n}}{(2n+1)!}}}$, also ${\displaystyle o_{0}(f_{1})=0}$, eine hebbare Singularität.
• Es ist ${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {1}{\sin z}}={\frac {1}{z}}+{\frac {z}{6}}+{\frac {7}{360}}z^{3}+\ldots }$

also ${\displaystyle o_{0}(f_{2})=-1}$, ein Pol erster Ordnung.

• Es ist ${\displaystyle f_{3}(z)=\sin z^{-1}=\sum _{n=-\infty }^{0}{\frac {(-1)^{n}}{(-2n+1)!}}z^{2n-1}}$, also ${\displaystyle o_{0}(f_{3})=-\infty }$, eine wesentliche Singularität.

• Geben Sie das Residuum von ${\displaystyle f(z)={\frac {cos(z)}{z^{2}}}}$ an!
• Geben Sie das Residuum von ${\displaystyle f(z)={\frac {cos(z)}{z^{3}}}}$ an!