Kurs:Körper- und Galoistheorie/20/Klausur mit Lösungen

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe ${\displaystyle {}H\subseteq G}$.
2. Eine ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzel ${\displaystyle {}z}$ in einem Körper ${\displaystyle {}K}$ (${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{+}}$).
3. Eine algebraische Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
4. Die Kommutatorgruppe einer Gruppe ${\displaystyle {}G}$.
5. Eine aus einer Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq E}$ einer Ebene ${\displaystyle {}E}$ elementar konstruierbare Gerade ${\displaystyle {}G}$.
6. Eine rein transzendente Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. Der Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.
3. /Fakt/Name

Es sei ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,+,0)}$ versehen mit der üblichen Addition. Es sei eine weitere Verknüpfung ${\displaystyle {}*}$ auf ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$ derart gegeben, dass ${\displaystyle {}(\mathbb {Q} ,+,0,*,1)}$ ein kommutativer Ring ist. Ferner gelte ${\displaystyle {}1*1=1}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}*}$ die übliche Multiplikation sein muss.

Wir zeigen zuerst, dass ${\displaystyle {}1}$ das neutrale Element zur Verknüpfung ${\displaystyle {}*}$ ist. Für eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n}$ ist nach dem allgemeinen Distributivgesetz

${\displaystyle {}n*1=(\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}})*1=\underbrace {1*1+\cdots +1*1} _{n{\text{ Summanden}}}=\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}}=n\,.}$

Für negatives ${\displaystyle {}m}$ mit ${\displaystyle {}m=-n}$ und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ ist

${\displaystyle {}0=0*1=(n+m)*1=n*1+m*1=n+m*1\,}$

und daraus folgt

${\displaystyle {}m*1=-n=m\,.}$

Für einen Bruch ${\displaystyle {}{\frac {m}{n}}}$ mit ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ ist

${\displaystyle {}\underbrace {{\frac {m}{n}}+\cdots +{\frac {m}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}=m\,}$

und

${\displaystyle {}m=m*1={\left(\underbrace {{\frac {m}{n}}+\cdots +{\frac {m}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}*1=\underbrace {{\frac {m}{n}}*1+\cdots +{\frac {m}{n}}*1} _{n{\text{ Summanden}}}\,.}$

Damit ist

${\displaystyle {}{\frac {m}{n}}*1={\frac {m}{n}}\,,}$

da dies die einzige rationale Zahl ist, die ${\displaystyle {}n}$-fach mit sich selbst addiert ${\displaystyle {}m}$ ergibt.

Nach dem Distributivgesetz und dem bisher Bewiesenen ist für natürliche Zahlen ${\displaystyle {}n,m}$

${\displaystyle {}n*m=(\underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ Summanden}}})*m=\underbrace {1*m+\cdots +1*m} _{n{\text{ Summanden}}}=\underbrace {m+\cdots +m} _{n{\text{ Summanden}}}=nm\,.}$

Der gleiche Trick wie oben zeigt, dass dies auch für ganze Zahlen gilt. Wegen

${\displaystyle {}{\frac {a}{b}}=1*{\frac {a}{b}}={\left(\underbrace {{\frac {1}{n}}+\cdots +{\frac {1}{n}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}*{\frac {a}{b}}={\left(\underbrace {{\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}+\cdots +{\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}} _{n{\text{ Summanden}}}\right)}\,}$

muss

${\displaystyle {}{\frac {1}{n}}*{\frac {a}{b}}={\frac {a}{bn}}\,}$

sein (für ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$), da dies die einzige rationale Zahl ist, die ${\displaystyle {}n}$-fach mit sich selbst addiert den Wert ${\displaystyle {}{\frac {a}{b}}}$ ergibt. Daher ist schließlich ist

${\displaystyle {}{\frac {a}{b}}*{\frac {c}{d}}=a*{\frac {1}{b}}*c*{\frac {1}{d}}=a*c*{\frac {1}{b}}*{\frac {1}{d}}=(ac)*{\frac {1}{b}}*{\frac {1}{d}}={\frac {ac}{b}}*{\frac {1}{d}}={\frac {ac}{bd}}\,.}$

Es sei ${\displaystyle {}G}$ eine endliche Gruppe. Zeige, dass jedes Element ${\displaystyle {}g\in G}$ eine endliche Ordnung besitzt, und dass die Potenzen

${\displaystyle g^{0}=e_{G},\,g^{1}=g,\,g^{2},\ldots ,g^{\operatorname {ord} \,(g)-1}}$

alle verschieden sind.

Da ${\displaystyle {}G}$ endlich ist, muss es unter den Potenzen zu den positiven Exponenten

${\displaystyle g^{1},\,g^{2},\,g^{3},\ldots }$

eine Wiederholung geben, sagen wir ${\displaystyle g^{m}=g^{n}}$ mit ${\displaystyle m<n}$. Wir multiplizieren diese Gleichung mit ${\displaystyle {}g^{-m}}$ und erhalten

${\displaystyle {}g^{n-m}=g^{m}g^{-m}=(g^{1}g^{-1})^{m}=e_{G}^{m}=e_{G}\,.}$

Also ist die Ordnung von ${\displaystyle {}g}$ maximal gleich ${\displaystyle {}n-m}$. Mit dem gleichen Argument kann man die Annahme, dass es unterhalb der Ordnung zu einer Wiederholung kommt, zum Widerspruch führen.

Bestimme sämtliche primitive Einheiten im Restklassenkörper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(13)}$.

Die multiplikative Ordnung ist ein Teiler von ${\displaystyle {}12}$. Wir bestimmen zuerst die Ordnung von ${\displaystyle {}2}$. Es ist

${\displaystyle 2^{2}=4\neq 1,\,2^{3}=8\neq 1,\,2^{4}=16=3\neq 1,\,2^{6}=64=-1.}$

${\displaystyle {}12}$

${\displaystyle {}2}$

Gruppenisomorphismus

${\displaystyle (\mathbb {Z} /(12),+,0)\longrightarrow \mathbb {Z} /(13)^{\times },\,n\longmapsto 2^{n},}$

der Erzeuger auf Erzeuger abbildet. Die Erzeuger links sind ${\displaystyle {}1,5,7,11}$ (die zu ${\displaystyle {}12}$ teilerfremden Zahlen), und diese werden auf die primitiven Einheiten

${\displaystyle 2^{1}=2,\,2^{5}=32=6,\,2^{7}=6\cdot 4=11,\,2^{11}=2^{-1}2^{12}=2^{-1}=7}$

abgebildet.

Beweise den Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik ${\displaystyle {}0}$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Satz Anhang 5.2 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit ${\displaystyle {}p}$ bezeichnet. Das bedeutet, dass ${\displaystyle {}K}$ den Körper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$ enthält. Damit ist aber ${\displaystyle {}K}$ ein Vektorraum über ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$, und zwar, da ${\displaystyle {}K}$ endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei ${\displaystyle {}n}$ die Dimension, ${\displaystyle {}n\geq 1}$. Dann hat man eine ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(p)}$-Vektorraumisomorphie

${\displaystyle {}K\cong (\mathbb {Z} /(p))^{n}\,}$

und somit besitzt ${\displaystyle {}K}$ gerade ${\displaystyle {}p^{n}}$ Elemente.

Wir betrachten die quadratische Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]=L}$.

a) Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu ${\displaystyle {}-5+6{\sqrt {7}}}$ bezüglich der ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$- Basis ${\displaystyle {}1,{\sqrt {7}}}$ von ${\displaystyle {}L}$.

b) Bestimme die Norm und die Spur von ${\displaystyle {}-5+6{\sqrt {7}}}$.

c) Bestimme das inverse Element zu ${\displaystyle {}-5+6{\sqrt {7}}}$.

d) Bestimme das Minimalpolynom zu ${\displaystyle {}-5+6{\sqrt {7}}}$.

a) Wegen

${\displaystyle {}{\left(-5+6{\sqrt {7}}\right)}{\sqrt {7}}=42-5{\sqrt {7}}\,}$

ist die Multiplikationsmatrix bezüglich der angegebenen gleich

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-5&42\\6&-5\end{pmatrix}}.}$

b) Die Norm ist

${\displaystyle {}\det {\begin{pmatrix}-5&42\\6&-5\end{pmatrix}}=25-6\cdot 42=-227\,}$

und die Spur ist ${\displaystyle {}-10}$.

c) Wegen

${\displaystyle {}{\left(-5+6{\sqrt {7}}\right)}{\left(-5-6{\sqrt {7}}\right)}=-227\,}$

ist

${\displaystyle {\frac {5+6{\sqrt {7}}}{227}}}$

das inverse Element zu ${\displaystyle {}-5+6{\sqrt {7}}}$.

d) Wegen

${\displaystyle {}{\left(-5+6{\sqrt {7}}\right)}^{2}+10{\left(-5+6{\sqrt {7}}\right)}-227=25+252-60{\sqrt {7}}-50+60{\sqrt {7}}-227=0\,}$

ist ${\displaystyle {}X^{2}+10X-227}$ das Minimalpolynom, da ein lineares Polynom nicht in Frage kommt.

Beweise den Satz über die Abschätzung zwischen der Ordnung der Galoisgruppe und dem Grad einer Körpererweiterung.

Nach Satz 10.16 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist ${\displaystyle {}{\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}}$ endlich. Wir setzen ${\displaystyle {}m={\#\left(\operatorname {Gal} \,(L{|}K)\right)}}$ und ${\displaystyle {}n=\operatorname {grad} _{K}L}$ und müssen ${\displaystyle {}m\leq n}$ zeigen. Nehmen wir also ${\displaystyle {}m>n}$ an. Es sei ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ eine ${\displaystyle {}K}$- Basis von ${\displaystyle {}L}$ und die Elemente in der Galoisgruppe seien ${\displaystyle {}\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}}$. Wir betrachten die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})&\cdots &\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})&\cdots &\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}.}$

Ihr Rang ist maximal gleich ${\displaystyle {}n}$, da sie nur ${\displaystyle {}n}$ Zeilen besitzt. Daher gibt es eine nichttriviale Relation zwischen den ${\displaystyle {}m}$ Spalten, sagen wir

${\displaystyle {}b_{1}{\begin{pmatrix}\varphi _{1}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{1}(v_{n})\end{pmatrix}}+\cdots +b_{m}{\begin{pmatrix}\varphi _{m}(v_{1})\\\vdots \\\varphi _{m}(v_{n})\end{pmatrix}}=0\,,}$

wobei nicht alle ${\displaystyle {}b_{j}}$ gleich ${\displaystyle {}0}$ sind. Wir betrachten nun

${\displaystyle \sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j},}$

wobei wir die Automorphismen ${\displaystyle {}\varphi _{j}}$ als Charaktere von ${\displaystyle {}L^{\times }}$ nach ${\displaystyle {}L^{\times }}$ auffassen. Für ein beliebiges Element ${\displaystyle {}v\in L}$ schreiben wir ${\displaystyle {}v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}}$. Mit diesen Bezeichnungen gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}(v)&={\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}\right)}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\varphi _{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m}b_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})\right)}\\&=0,\end{aligned}}}$

da ja wegen der obigen linearen Abhängigkeit die Zeilensummen ${\displaystyle {}\sum _{j=1}^{m}b_{j}\varphi _{j}(v_{i})=0}$ sind für jedes ${\displaystyle {}i}$. Also liegt eine nicht-triviale Relation zwischen Charakteren vor, was nach Satz 14.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) nicht sein kann.

Beschreibe eine konstruierbare Zahl auf dem komplexen Einheitskreis, die keine Einheitswurzel ist.

Wir betrachten die Zahl ${\displaystyle {}2+{\mathrm {i} }}$, die zu ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}$ gehört und insbesondere konstruierbar ist. Dann ist auch der Schnittpunkt der Geraden durch diesen Punkt und den Nullpunkt mit dem Einheitskreis konstruierbar. Wenn dieser Schnittpunkt eine Einheitswurzel wäre, so wäre eine bestimmte Potenz davon gleich ${\displaystyle {}1}$. Dies würde bedeuten, dass eine bestimmte Potenz von ${\displaystyle {}2+{\mathrm {i} }}$ reell wäre. Es ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(2+{\mathrm {i} }\right)}^{n}&=\sum _{k=0}^{n}2^{n-k}{\mathrm {i} }^{k}\\&=\sum _{k\leq n,\,k{\text{ gerade}}}^{n}2^{n-k}{\mathrm {i} }^{k}+\sum _{k\leq n,\,k{\text{ ungerade}}}^{n}2^{n-k}{\mathrm {i} }^{k}\\&={\left(\sum _{\ell \leq n/2}(-1)^{\ell }2^{n-2\ell }\right)}+{\left(\sum _{\ell <n/2}(-1)^{\ell }2^{n-2\ell -1}\right)}{\mathrm {i} }.\end{aligned}}}$

Der Koeffizient vor ${\displaystyle {}{\mathrm {i} }}$ ist bei ${\displaystyle {}n}$ gerade gleich

${\displaystyle \pm {\left(2-2^{3}+2^{5}-2^{7}\pm \ldots \pm 2^{n-1}\right)}}$

und bei ${\displaystyle {}n}$ ungerade gleich

${\displaystyle \pm {\left(1-2^{2}+2^{4}-2^{6}\pm \ldots \pm 2^{n-1}\right)}.}$

Diese Zahlen sind definitiv nicht ${\displaystyle {}0}$, da ${\displaystyle {}2^{n-1}}$ größer als die Summe aller kleineren Zweierpotenzen ist.