Kurs:Lineare Algebra/Teil II/22/Klausur

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Metrik auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$.
2. Kongruente Dreiecke in der euklidischen Ebene.
3. Eine ${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-antilineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow W}$ zwischen komplexen Vektorräumen ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$.
4. Ein Polynom in mehreren Variablen ${\displaystyle {}X_{1},\ldots ,X_{n}}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$.
5. Eine Äquivalenzrelation ${\displaystyle {}\sim }$ auf einer Menge ${\displaystyle {}M}$.
6. Die alternierende Gruppe ${\displaystyle {}A_{n}}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
2. Das Minorenkriterium für die Definitheit einer symmetrischen Bilinearform.
3. Der Satz über die Untergruppen von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$.

Vergleiche anhand eines Begriffes aus der linearen Algebra die elementargeometrische und die abstrakte Sichtweise.

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte ${\displaystyle {}(-1,1)}$ und ${\displaystyle {}(4,-2)}$ verläuft.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$- Vektorraum mit Skalarprodukt und ${\displaystyle {}U\subseteq V}$ ein Untervektorraum mit einer Orthonormalbasis ${\displaystyle {}u_{1},\ldots ,u_{m}}$ von ${\displaystyle {}U}$. Zeige, dass die orthogonale Projektion auf ${\displaystyle {}U}$ durch

${\displaystyle {}p_{U}(v)=\sum _{i=1}^{m}\left\langle v,u_{i}\right\rangle u_{i}\,}$

gegeben ist.

Beweise den Satz über die eigentlichen Isometrien in der reellen Ebene.

Zeige, dass in einem gleichseitigen Dreieck das Verhältnis zwischen dem Umkreisradius und dem Inkreisradius ${\displaystyle {}2:1}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine reell-symmetrische ${\displaystyle {}2\times 2}$- Matrix. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ einen Eigenwert besitzt.

Zeige, dass die auf ${\displaystyle {}\mathbb {Z} \times \mathbb {N} _{+}}$ durch

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d),{\text{ falls }}ad=bc,}$

festgelegte Relation eine Äquivalenzrelation ist.

Beweise den Isomorphiesatz für Gruppen.

a) Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Zahlen ${\displaystyle {}x,y\neq 0}$ derart, dass ${\displaystyle {}x-y}$ eine rationale Zahl ist, aber ${\displaystyle {}x/y}$ nicht.

b) Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Zahlen ${\displaystyle {}u,v\neq 0}$ derart, dass ${\displaystyle {}u/v}$ eine rationale Zahl ist, aber ${\displaystyle {}u-v}$ nicht.

Beweise den Satz über die Charakterisierung der Stetigkeit von linearen Abbildungen.

Berechne für die Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}}$

die Maximumsnorm, wenn der ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ als Definitionsraum mit der Maximumsnorm und als Zielraum mit der euklidischen Norm versehen ist.