Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Anhang B

Es sei die Gesamtfolge konvergent gegen ${\displaystyle {}w=(w_{1},\ldots ,w_{m})}$. Wir behaupten, dass die ${\displaystyle {}i}$-te Komponentenfolge ${\displaystyle {}{\left(z_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle {}w_{i}}$ konvergiert. Sei (ohne Einschränkung) ${\displaystyle {}i=1}$ und ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Gesamtfolge gibt es ein ${\displaystyle {}n_{0}\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle {}d{\left(z_{n},w\right)}\leq \epsilon }$ für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$. Daher ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {z_{1n}-w_{1}}\vert &={\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}}}\\&\leq {\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}+{\left(z_{2n}-w_{2}\right)}^{2}+\cdots +{\left(z_{mn}-w_{m}\right)}^{2}}}\\&=d{\left(z_{n},w\right)}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}}$

Es seien nun alle Komponentenfolgen konvergent, wobei die ${\displaystyle {}i}$-te Folge den Grenzwert ${\displaystyle {}w_{i}}$ besitzen möge, und sei ein ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben. Wir setzen ${\displaystyle {}w=(w_{1},\ldots ,w_{m})}$ und behaupten, dass die Folge gegen ${\displaystyle {}w}$ konvergiert. Zu ${\displaystyle {}\epsilon /m}$ gibt es für jede Komponentenfolge ein ${\displaystyle {}n_{0i}}$ derart, dass ${\displaystyle {}\vert {z_{in}-w_{i}}\vert \leq \epsilon /m}$ für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0i}}$ gilt. Dann gilt für alle

${\displaystyle {}n\geq n_{0}:={\max {\left(n_{0i},i=1,\ldots ,m\right)}}\,}$

die Beziehung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left(z_{n},w\right)}&={\sqrt {{\left(z_{1n}-w_{1}\right)}^{2}+\cdots +{\left(z_{mn}-w_{m}\right)}^{2}}}\\&\leq {\sqrt {{\left({\frac {\epsilon }{m}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\epsilon }{m}}\right)}^{2}}}\\&={\sqrt {\frac {\epsilon ^{2}}{m}}}\\&={\frac {\epsilon }{\sqrt {m}}}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}}$

Es sei zunächst ${\displaystyle {}T}$ abgeschlossen und eine Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T}$ gegeben, die in ${\displaystyle {}M}$ gegen ${\displaystyle {}x\in M}$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ${\displaystyle {}x\in T}$ ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann liegt ${\displaystyle {}x}$ im offenen Komplement von ${\displaystyle {}T}$ und daher gibt es ein ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ derart, dass der gesamte ${\displaystyle {}\epsilon }$- Ball ${\displaystyle {}U{\left(x,\epsilon \right)}}$ im Komplement von ${\displaystyle {}T}$ liegt. Also ist

${\displaystyle {}T\cap U{\left(x,\epsilon \right)}=\emptyset \,.}$

Da die Folge aber gegen ${\displaystyle {}x}$ konvergiert, gibt es ein ${\displaystyle {}n_{0}}$ derart, dass alle Folgenglieder ${\displaystyle {}x_{n}}$, ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$, zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in ${\displaystyle {}T}$ liegen, ist dies ein Widerspruch.
  Es sei nun ${\displaystyle {}T}$ nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in ${\displaystyle {}T}$ konstruieren, die in ${\displaystyle {}M}$ konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu ${\displaystyle {}T}$ gehört. Da ${\displaystyle {}T}$ nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement ${\displaystyle {}U:=M\setminus T}$ nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt ${\displaystyle {}x\in U}$ derart, dass in jedem ${\displaystyle {}\epsilon }$-Ball von ${\displaystyle {}x}$ auch Punkte außerhalb von ${\displaystyle {}U}$, also in ${\displaystyle {}T}$ liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} _{+}}$ der Durchschnitt

${\displaystyle {}T\cap U{\left(x,{\frac {1}{n}}\right)}\neq \emptyset \,.}$

Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element ${\displaystyle {}x_{n}}$ und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in ${\displaystyle {}T}$. Die Folge konvergiert gegen ${\displaystyle {}x}$, da man sich hierzu auf

${\displaystyle {}\epsilon =1/n\,}$

beschränken kann und alle Folgenglieder ${\displaystyle {}x_{m}}$, ${\displaystyle {}m\geq n}$, in ${\displaystyle {}U{\left(x,{\frac {1}{m}}\right)}\subseteq U{\left(x,{\frac {1}{n}}\right)}}$ liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und ${\displaystyle {}x\notin T}$ ist, konvergiert die Folge in ${\displaystyle {}T}$ nicht.

Wenn ${\displaystyle {}T}$ nicht beschränkt ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ ein ${\displaystyle {}x_{n}\in T}$ mit ${\displaystyle {}d{\left(x_{n},0\right)}\geq n}$. Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn ${\displaystyle {}T}$ nicht abgeschlossen ist, so gibt es nach Fakt ***** eine Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T}$, die gegen ein ${\displaystyle {}x\in \mathbb {R} ^{m},\,x\not \in T}$, konvergiert. Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen ${\displaystyle {}x}$, sodass es keine in ${\displaystyle {}T}$ konvergente Teilfolge geben kann.

Es sei nun ${\displaystyle {}T}$ abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T}$ vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge ${\displaystyle {}{\left(x_{in}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente ${\displaystyle {}i=1}$. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass gibt es eine Teilfolge ${\displaystyle {}{\left(x_{n_{j}}\right)}_{j\in \mathbb {N} }}$ derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach Fakt ***** konvergiert dann die gesamte Teilfolge in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{m}}$. Da ${\displaystyle {}T}$ abgeschlossen ist, liegt nach Fakt ***** der Grenzwert in ${\displaystyle {}T}$.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ kompakt und sei eine Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ gegeben.  Nehmen wir an, dass diese Folge keinen Häufungspunkt besitzt. Das bedeutet, dass es zu jedem ${\displaystyle {}y\in X}$ eine offene Umgebung ${\displaystyle {}y\in U_{y}}$ gibt, in der es nur endlich viele Folgenglieder gibt. Wegen

${\displaystyle {}X=\bigcup _{y\in X}U_{y}\,}$

gibt es nach Voraussetzung eine endliche Teilüberdeckung

${\displaystyle {}X=\bigcup _{i=1}^{n}U_{y_{i}}\,.}$

Es sei die Folgeneigenschaft erfüllt und sei ${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ eine Überdeckung mit offenen Mengen. Da ${\displaystyle {}X}$ eine abzählbare Basis besitzt, gibt es nach Aufgabe ***** eine abzählbare Teilmenge ${\displaystyle {}J\subseteq I}$ mit

${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,.}$

Wir können ${\displaystyle {}J=\mathbb {N} }$ annehmen.  Nehmen wir an, dass die Überdeckung ${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }U_{i}}$ keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Dann ist insbesondere ${\displaystyle {}\bigcup _{i=0}^{n}U_{i}\neq X}$ für jedes ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ und daher gibt es zu jedem ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ ein ${\displaystyle {}x_{n}\in X}$ mit ${\displaystyle {}x_{n}\not \in \bigcup _{i=0}^{n}U_{i}}$. Nach Voraussetzung besitzt diese Folge einen Häufungspunkt ${\displaystyle {}x}$. Da eine Überdeckung ${\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }U_{i}}$ vorliegt, gibt es ein ${\displaystyle {}k\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle {}x\in U_{k}}$. Da ${\displaystyle {}x}$ ein Häufungspunkt ist, liegen unendlich viele Folgenglieder in ${\displaystyle {}U_{k}}$. Dies ist ein Widerspruch, da nach Konstruktion für ${\displaystyle {}n\geq k}$ die Folgenglieder ${\displaystyle {}x_{n}}$ nicht zu ${\displaystyle {}U_{k}}$ gehören.

Die Äquivalenz von (1) und (2) wurde allgemeiner in Fakt ***** bewiesen, für die Existenz einer abzählbaren Basis siehe Aufgabe *****.
Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar.
Die Äquivalenz von (3) und (4) wurde in Fakt ***** gezeigt.

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar.
Es sei nun (2) erfüllt und sei ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine Folge in ${\displaystyle {}L}$, die gegen ${\displaystyle {}x}$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ${\displaystyle {}\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(x)}$ ist. Dazu sei ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ gegeben. Wegen (2) gibt es ein ${\displaystyle {}\delta }$ mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ gegen ${\displaystyle {}x}$ gibt es eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}n_{0}}$ derart, dass für alle ${\displaystyle {}n\geq n_{0}}$ die Abschätzung

${\displaystyle {}d(x_{n},x)\leq \delta \,}$

gilt. Nach der Wahl von ${\displaystyle {}\delta }$ ist dann

${\displaystyle d(f(x_{n}),f(x))\leq \epsilon {\text{ für alle }}n\geq n_{0},}$

${\displaystyle {}f(x)}$

Es sei (3) erfüllt und ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben.  Wir nehmen an, dass es für alle ${\displaystyle {}\delta >0}$ Elemente ${\displaystyle {}z\in L}$ gibt, deren Abstand zu ${\displaystyle {}x}$ maximal gleich ${\displaystyle {}\delta }$ ist, deren Wert ${\displaystyle {}f(z)}$ unter der Abbildung aber zu ${\displaystyle {}f(x)}$ einen Abstand größer als ${\displaystyle {}\epsilon }$ besitzt. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche ${\displaystyle {}\delta =1/n}$, ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$. D.h. für jede natürliche Zahl ${\displaystyle {}n}$ gibt es ein ${\displaystyle {}x_{n}\in L}$ mit

${\displaystyle d(x_{n},x)\leq {\frac {1}{n}}{\text{ und mit }}d(f(x_{n}),f(x))>\epsilon .}$

Diese so konstruierte Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert gegen ${\displaystyle {}x}$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen ${\displaystyle {}f(x)}$, da der Abstand der Bildfolgenwerte zu ${\displaystyle {}f(x)}$ zumindest ${\displaystyle {}\epsilon }$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (3).

Die Äquivalenz der ersten drei Formulierungen folgt direkt aus Fakt *****.
Es sei (1) erfüllt und eine offene Menge ${\displaystyle {}V\subseteq M}$ gegeben mit dem Urbild ${\displaystyle {}U:=f^{-1}(V)}$. Sei ${\displaystyle {}x\in U}$ ein Punkt mit dem Bildpunkt ${\displaystyle {}y=f(x)\in V}$. Da ${\displaystyle {}V}$ offen ist, gibt es nach Definition ein ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ mit ${\displaystyle {}U{\left(y,\epsilon \right)}\subseteq V}$. Nach (2) gibt es ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ mit ${\displaystyle {}f(U(x,\delta ))\subseteq U{\left(y,\epsilon \right)}}$. Daher ist

${\displaystyle {}x\in U{\left(x,\delta \right)}\subseteq U\,}$

und wir haben eine offene Ballumgebung von ${\displaystyle {}x}$ innerhalb des Urbilds gefunden. Deshalb ist ${\displaystyle {}U}$ offen.
Es sei (4) erfüllt und ${\displaystyle {}x\in L}$ mit ${\displaystyle {}y=f(x)}$ und ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ vorgegeben. Da der offene Ball ${\displaystyle {}U{\left(y,\epsilon \right)}}$ offen ist, ist wegen (4) auch das Urbild ${\displaystyle {}f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})}$ offen. Da ${\displaystyle {}x}$ zu dieser Menge gehört, gibt es ein ${\displaystyle {}\delta >0}$ mit

${\displaystyle {}U{\left(x,\delta \right)}\subseteq f^{-1}(U{\left(y,\epsilon \right)})\,,}$

sodass (1) erfüllt ist.