Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 48

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon R\longrightarrow S}$

ein Ideal in ${\displaystyle {}R}$ ist.

Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 44.3, dass jede Untergruppe von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ ein Ideal ist.

Zeige, dass ${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} }$ eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Es seien ${\displaystyle {}k}$ und ${\displaystyle {}n}$ ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}k}$ teilt ${\displaystyle {}n}$.
2. Es ist ${\displaystyle {}\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z} k}$.
3. Es gibt einen Ringhomomorphismus

   ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).}$

4. Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

   ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(k).}$

Es sei ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass ${\displaystyle {}a\in \mathbb {Z} }$ genau dann eine Einheit modulo ${\displaystyle {}n}$ ist, wenn ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}n}$ teilerfremd sind.

Es sei ${\displaystyle {}n\geq 1}$ eine natürliche Zahl und ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ ist ein Körper.
2. ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)}$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${\displaystyle {}n}$ ist eine Primzahl.

Es sei ${\displaystyle {}C}$ die Menge aller Cauchy-Folgen in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} }$.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}C}$ mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ein kommutativer Ring ist.

b) Zeige, dass die Teilmenge ${\displaystyle {}N\subseteq C}$, die aus allen Nullfolgen besteht, ein Ideal ist.

c) Zeige, dass ${\displaystyle {}C/N}$ ein Körper ist.

Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?

Gibt es Gründe, für Linkshänder andere Schrauben anzufertigen als für Rechtshänder?

Gilt die Rechte-Hand-Regel auch für Linkshänder?

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass auf der Menge der (geordneten) Basen die Orientierungsgleichheit eine Äquivalenzrelation ist, die bei ${\displaystyle {}V\neq 0}$ aus genau zwei Äquivalenzklassen besteht.

Es sei ${\displaystyle {}V\neq 0}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer Basis ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$. Zeige, dass wenn man einen Vektor ${\displaystyle {}v_{i}}$ durch sein Negatives ${\displaystyle {}-v_{i}}$ ersetzt, dass dann die neue Basis die entgegengesetzte Orientierung repräsentiert.

Bestimme, ob die beiden Basen des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}},}$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Bestimme, ob die beiden Basen des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\-5\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-6\\0\\11\end{pmatrix}},}$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Wir betrachten im ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ die drei Vektoren

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x\\5\\7\end{pmatrix}}.}$

a) Wie muss man ${\displaystyle {}x}$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$ repräsentieren?

b) Wie muss man ${\displaystyle {}x}$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position ${\displaystyle {}(-2,3)\in \mathbb {Z} ^{2}}$ (die Koordinaten seien mit ${\displaystyle {}x}$ und ${\displaystyle {}y}$ bezeichnet) und schaut in die positive ${\displaystyle {}x}$-Richtung. Alle folgenden Angaben beziehen sich auf ihre jeweilige Position und ihre Ausrichtung, der Uhrzeigersinn bezieht sich auf die Draufsicht. Lucy führt hintereinander folgende Bewegungen aus. Sie macht einen Schritt nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, sie dreht sich um ${\displaystyle {}180}$ Grad, macht drei Schritte nach links, macht eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn, macht vier Schritte nach rechts und zwei Schritte nach hinten, dreht sich um ${\displaystyle {}360}$ Grad und macht einen Schritt nach links.

Wo befindet sie sich nach der Gesamtbewegung und in welche Richtung schaut sie?

Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit ${\displaystyle {}A,B,C}$ zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.

Es seien ${\displaystyle {}V}$ und ${\displaystyle {}W}$ endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume und sei

${\displaystyle \varphi \colon V\longrightarrow W}$

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ genau dann orientierungstreu ist, wenn es eine die Orientierung auf ${\displaystyle {}V}$ repräsentierende Basis ${\displaystyle {}v_{1},\ldots ,v_{n}}$ gibt, deren Bildvektoren ${\displaystyle {}\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})}$ die Orientierung auf ${\displaystyle {}W}$ repräsentieren.

Es sei ${\displaystyle {}M={\{1,\ldots ,n\}}}$ und sei ${\displaystyle {}\pi }$ eine Permutation auf ${\displaystyle {}M}$ und ${\displaystyle {}M_{\pi }}$ die zugehörige Permutationsmatrix. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ genau dann orientierungstreu ist, wenn

${\displaystyle {}\operatorname {sgn} (\pi )=1\,}$

ist

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und ${\displaystyle {}G=\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}}$ die Gruppe der bijektiven linearen Abbildungen auf ${\displaystyle {}V}$. Zeige, dass die Menge der orientierungstreuen Abbildungen in ${\displaystyle {}G}$ einen Normalteiler bilden. Welche Beziehung besteht zum Betrag der Determinante?

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(11)}$.

Bestimme, ob die beiden Basen des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}$,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\4\\-5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\6\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-3\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\4\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\0\\13\end{pmatrix}},}$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum. Zeige, dass es auf ${\displaystyle {}V}$, aufgefasst als reellen Vektorraum, eine natürliche Orientierung gibt.

Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension ${\displaystyle {}n}$ und sei das Produkt ${\displaystyle {}V^{n}=V\times \cdots \times V}$ mit der Produkttopologie versehen. Es sei ${\displaystyle {}I}$ ein reelles Intervall und

${\displaystyle \varphi \colon I\longrightarrow V^{n}}$

eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass

${\displaystyle {}\varphi (t)=(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t),\ldots ,\varphi _{n}(t))\,}$

für jedes ${\displaystyle {}t\in I}$ eine Basis von ${\displaystyle {}V}$ ist. Zeige, dass sämtliche Basen ${\displaystyle {}\varphi (t)}$, ${\displaystyle {}t\in I}$, die gleiche Orientierung auf ${\displaystyle {}V}$ repräsentieren.