Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen

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Diese Lernressource in der Wikiversity hat das Ziel, die Konvergenz auf einem Funtionenraum ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ zu betrachten, die mit einem System von Gaugefunktionalen ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$ topologisiert wurde.

Die Konvergenz von Funktionennetze als Verallgemeinerung von Funktionenfolgen z.B. in normierten oder metrischen Räumen tritt in dieser Lernressource im Kontext von Potenzreihen mit Koeffizenten in ${\displaystyle A}$ auf und bei Abbildungen ${\displaystyle f:A\to A}$, die dann selbst als Potenzreihen dargestellt werden können.

Zunächst betrachtet man eine Potenzreihe in ${\displaystyle {\overline {A[t]}}}$ in Banachräumen von Funktionen, die dann als Folge der Partialsummen in ${\displaystyle A}$ aufgefasst werden. Ist das Argument ${\displaystyle t}$ einer Potenzreihe ${\displaystyle p(t)}$ mit ${\displaystyle p\in A[t]}$ ein Element aus dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$, dann benötigt man mit dem reellwertiges Argument lediglich die innere und äußere Verknüpfung auf einem toplogischen Vektorraum ${\displaystyle A}$. Wird das Argument ${\displaystyle t}$ einer Potenzreihe ${\displaystyle p(t)}$ als Element von ${\displaystyle t\in A}$ aufgefasst, dann entstehen in einer Potenzreihe als Summanden der Form ${\displaystyle p_{n}\cdot t^{n}}$. Dabei muss ${\displaystyle A}$ zusätzlich eine Multiplikation ${\displaystyle \cdot :A\to A}$ als innere Verknüpfung besitzen und eine vollständige Algebra bzw. des Gaugefunktionalsystems ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$ sein.

Potenzreihen ${\displaystyle p\in {\overline {A[t}}}$ in einer Banachalgebra mit Argumenten in ${\displaystyle A}$ sind Abbildungen ${\displaystyle p:A\to A}$. Allgemeiner kann man Funktionenfolgen ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle f_{n}:A\to A}$, die in dem Funktionenraum ${\displaystyle {\mathcal {F}}(A,A)}$ als topologischem Vektorraum konvergieren. Potenzreihen als Folge von Partialsummen kann man dabei Spezialfall der Folgenkonvergenz in Funktionenräumen betrachten.

Sei ${\displaystyle (A,\|\cdot \|)}$ mit ${\displaystyle A={\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {R} )}$, der Norm ${\displaystyle \|f\|:=\max _{x\in [a,b]}|f(x)|}$ und den Algebraverknüpfungen wie folgt definiert:

${\displaystyle +:A\times A\to A}$ mit ${\displaystyle (f,g)\mapsto f+g:=h}$ und ${\displaystyle h(x):=f(x)+g(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

${\displaystyle \circ :A\times A\to A}$ mit ${\displaystyle (f,g)\mapsto f\circ g:=h}$ und ${\displaystyle h(x):=f(x)\cdot g(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Die äußere Verknüpfung ist ebenfalls durch die Multiplikation der Funktionswerte mit dem Skalar argumentweise für jedes ${\displaystyle x\in [a,b]}$ definert:

${\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times A\to A}$ mit ${\displaystyle (\lambda ,f)\mapsto \lambda \cdot f:=h}$ und ${\displaystyle h(x):=\lambda \cdot f(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Erzeugen Sie eine Polynom ${\displaystyle p\in A[t]}$ dritten Grades und berechnen Sie ${\displaystyle p(t)}$ mit ${\displaystyle t\in A}$ und ${\displaystyle t(x):=sin(x)}$.

Erzeugen Sie eine Potenzreihe ${\displaystyle p\in {\overline {A[t]}}}$ mit ${\displaystyle |||p|||:=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|p_{k}\|}$, ${\displaystyle p_{k}\not =0_{A}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und berechnen Sie ${\displaystyle |||p|||}$!

Mit dem Topologisierungslemma für Algebren erfüllt dann das Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ die Eigenschaften (A1)-(A5):

• (A1) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},x\in A}:\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 0}$
• (A2) ${\textstyle \displaystyle \left(\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}:\left\|x\right\|_{\alpha }=0\right)\Longrightarrow x=0_{A}}$
• (A3) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},x\in A,\lambda \in \mathbb {K} }:\left\|\lambda \cdot x\right\|_{\alpha }=|\lambda |\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }}$
• (A4) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}}}\forall _{x,y\in A}:\left\|x+y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }+\left\|y\right\|_{\beta }}$
• (A5) ${\textstyle \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}}}\forall _{x,y\in A}:\left\|x\cdot y\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{\beta }\cdot \left\|y\right\|_{\beta }}$

Eine Potenzreihe ${\displaystyle p\in {\overline {A[t]}}}$ wird als Element der Vervollständigung der Polynomalgebra ${\displaystyle A[t]}$ betrachtet, wobei mit ${\displaystyle |||p|||_{\alpha }:=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|p_{k}\|_{\alpha }}$ dann ${\displaystyle |||p|||<\infty }$ für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ erfüllt sein muss.

Sei ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathbb {N} })}$ mit ${\displaystyle A={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$, den Halbnormen ${\displaystyle \|f\|_{n}:=\max _{x\in [-n,+n]}|f(x)|}$ und den oben genannten Algebraverknüpfungen definiert. Sein nun ${\displaystyle p\in {\overline {A[t]}}}$ mit ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}}$ mit ${\displaystyle p_{k}(x):={\frac {1}{2^{k}}}\cdot x^{2}}$ definiert. Berechnen Sie ${\displaystyle |||p|||_{n}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und überprüfen Sie damit, ob ${\displaystyle p\in {\overline {A[t]}}}$ erfüllt ist!

Zeigen Sie (A1)-(A5) für ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathbb {N} })}$ und für ${\displaystyle ({\overline {A[t]}},|||\cdot |||_{\mathbb {N} })}$ für die oben definierte topologische Algebra (lokalkonvexe Algebra) ${\displaystyle A={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$.

Sei ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ der Parameterraum von einer Teilmenge von Funktionen aus ${\displaystyle A={\mathcal {C}}([a,b],{\mathcal {R}})}$ mit der Integralnorm auf ${\displaystyle A}$.

${\displaystyle \|\cdot \|A\to \mathbb {R} \qquad f\mapsto \|f\|:=\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx}$

Betrachten Sie das Gradientenabstiegsverfahren und erläutern Sie, wie über die Parametrisierung der Funktionen in ${\displaystyle A}$ eine Funktionenfolge in ${\displaystyle A}$ entsteht. Erzeugen Sie Funktionenfolge mit Parameter ${\displaystyle (C_{n},D_{n},E_{n})\in \mathbb {R} ^{3}}$ mit ${\displaystyle f_{n}(x):=C_{n}\cdot cos(x)+D_{n}\cdot x+E_{n}}$. Zeigen Sie für Ihre konvergente Parameterfolge ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(C_{n},D_{n},E_{n})=(C_{0},D_{0},E_{0})}$, dass die Funktion ${\displaystyle f_{n}}$ in der Integralnorm gegen eine Funktion ${\displaystyle f_{o}\in A}$ konvergiert. Geben Sie ${\displaystyle f_{0}\in A}$ an und weisen Sie die Konvergenz in der Integralnorm nach!

1. ↑ Friedl, S. (2023). Funktionenfolgen. In: Analysis 1. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-67359-1_16 - S. 190 ff

• Topologische Algebra
• Stochastischer Prozess
• Wiki2Reveal
• Gradientenabstiegsverfahren

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