Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/Zahlenfolgen

Definition:

Eine Folge reeller Zahlen ${\displaystyle {}_{a\in \mathbb {R} }}$ ist eine Abbildung ${\displaystyle {}_{a:\ \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} }}$. Anstatt von

${\displaystyle n\in \mathbb {N} :\ a(n)=a(1),a(2),a(3),\ldots }$

schreibt man die Folge meist mit Indizes als

${\displaystyle n\in \mathbb {N} :\ \left\{a_{n}\right\}=a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$.

Die Zahlen ${\displaystyle {}_{a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }}$ werden als Glieder der Folge bezeichnet. Der Ausdruck ${\displaystyle {}_{a_{n}}}$ wird als allgemeines Glied bezeichnet.

Definition:

Eine Folge komplexer Zahlen wird analog als eine Abbildung ${\displaystyle {}_{a:\ \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }}$ definiert.

Definition:

Eine Folge ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$ wird als konvergent mit dem Granzwert ${\displaystyle {}_{a}}$ bezeichnet, wenn ${\displaystyle {}_{\forall \epsilon >0}}$ eine Zahl ${\displaystyle {}_{N(\epsilon )}}$ existiert, so dass ${\displaystyle {}_{\forall n\in \mathbb {N} }}$ mit ${\displaystyle {}_{n\geq N(\epsilon )}}$ der Zusammenhang ${\displaystyle {}_{\left|a_{n}-a\right|<\epsilon }}$ gilt.

In diesem Fall schreibt man

${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow \infty }a_{n}=a}$

Definition:

Eine Folge, welche nicht konvergent ist, wird als divergent bezeichnet.

Definition:

Eine Folge ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$ wird als Nullfolge bezeichnet, wenn

${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

gilt.

Satz:

Werden endlich viele Glieder einer Folge geändert, so wird die Konvergenz und der Grenzwert beibehalten.

Satz:

Für zwei Folgen ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$ und ${\displaystyle {}_{\left\{b_{n}\right\}}}$ gelten die folgenden Rechenoperationen:

1. Summenfolge

   ${\displaystyle \left\{a_{n}+b_{n}\right\}}$

2. Differenzfolge

   ${\displaystyle \left\{a_{n}-b_{n}\right\}}$

3. Produktfolge

   ${\displaystyle \left\{a_{n}\,b_{n}\right\}}$

4. Quotientenfolge

   ${\displaystyle \forall b_{n}\neq 0:\ \left\{{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right\}}$

Satz:

Sind zwei Folgen ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$ und ${\displaystyle {}_{\left\{b_{n}\right\}}}$ mit ${\displaystyle {}_{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}=a}}$ und ${\displaystyle {}_{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }b_{n}=b}}$ konvergent, so sind auch deren Summe, Differenz und Produkt konvergent. Dies gilt auch für den Quotient, wobei allerdings der Nenner nicht Null werden darf. Es gilt daher:

1. ${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left(a_{n}\pm b_{n}\right)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}\pm \lim \limits _{n\rightarrow \infty }b_{n}=a\pm b}$
2. ${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left(a_{n}\,b_{n}\right)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}\,\lim \limits _{n\rightarrow \infty }b_{n}=a\,b}$
3. ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\ \left(b_{n}\neq 0\right)\land \left(\lim \limits _{n\rightarrow \infty }b_{n}\neq 0\right):\ \lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }b_{n}}}={\frac {a}{b}}}$

Definition:

Eine Folge ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$ wird als Cauchyfolge bezeichnet, wenn der Zusammenhang

${\displaystyle \forall \epsilon >0:\ \exists i=N\left(\epsilon \right):\ \forall m,n\geq i:\ \left|a_{m}-a_{n}\right|<\epsilon }$

gilt.

Beispiel:

Die Folge ${\displaystyle {}_{a_{n}={\frac {1}{n}}}}$ ist eine Cauchyfolge.

Beweis:

Es muss der Zusammenhang

${\displaystyle \forall \epsilon >0:\ \exists i=N\left(\epsilon \right):\ \forall m,n\geq i:\ \left|a_{m}-a_{n}\right|=\left|{\frac {1}{m}}-frac{1}{n}\right|<\epsilon }$

erfüllt werden.

Es wird angenommen, dass ${\displaystyle {}_{a_{m}<a_{n}}}$ gilt. Es gilt daher der Zusammenhang

${\displaystyle \left|a_{m}-a_{n}\right|\leq \left|{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}\right|\leq {\frac {2}{m}}}$.

Deshalb ist

${\displaystyle \left|a_{m}-a_{n}\right|<\epsilon }$

wenn

${\displaystyle m>{\frac {2}{\epsilon }}}$.

Daraus folgt

${\displaystyle N(\epsilon )={\frac {2}{\epsilon }}}$.

Satz:

Das Konvergenzkriterium von Cauchy besagt, dass für eine Folge ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$ mit ${\displaystyle {}_{\forall a_{n}\in \mathbb {R} }}$ genau dann konvergent ist, wenn die Folge ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$ eine Cauchyfolge ist.

Beweis:

Aus

${\displaystyle \left|a_{n}-a_{m}\right|\leq \left|a-a_{n}\right|+\left|a-a_{m}\right|}$

folgt, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist.

Beweis:

TODO: Beweis mit Umkehrung (Satz von Bolzano-Weierstraß)

Satz:

Es folgt aus der Vollständigkeit in ${\displaystyle {}_{\mathbb {R} }}$, dass jede Cauchyfolge in ${\displaystyle {}_{\mathbb {R} }}$ mit einem Grenzwert in ${\displaystyle {}_{\mathbb {R} }}$ konvergiert.

Definition:

Eine Folge ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$ wird als monoton wachsend bezeichnet, wenn

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}\leq a_{n+1}}$

Definition:

Eine Folge ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$ wird als streng monoton wachsend bezeichnet, wenn

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}<a_{n+1}}$

Definition:

Eine Folge ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$ wird als monoton fallend bezeichnet, wenn

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}\geq a_{n+1}}$

Definition:

Eine Folge ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$ wird als streng monoton fallend bezeichnet, wenn

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}>a_{n+1}}$

Definition:

Eine Folge ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$ wird als nach oben beschränkt bezeichnet, wenn es eine Konstante ${\displaystyle {}_{C}}$ gibt mit welcher

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}\leq C}$

gilt.

Definition:

Eine Folge ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$ wird als nach unten beschränkt bezeichnet, wenn es eine Konstante ${\displaystyle {}_{C}}$ gibt mit welcher

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}\geq C}$

gilt.

Satz:

Der Hauptsatz über monotone Folgen besagt, dass für

1. eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$
   1. konvergent ist
   2. ${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\sup \left\{a_{n}\left|n\in \mathbb {N} \right.\right\}}$ gilt
2. eine monoton fallende und nach ungen beschränkte Folge ${\displaystyle {}_{\left\{a_{n}\right\}}}$
   1. konvergent ist
   2. ${\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\inf \left\{a_{n}\left|n\in \mathbb {N} \right.\right\}}$ gilt.

Satz:

der Satz über das Einschließungsprinzip besagt, dass wenn die Folgen ${\displaystyle {}_{\{a_{n}\}}}$ und ${\displaystyle {}_{\{b_{n}\}}}$ gegen den selben Grenzwert ${\displaystyle {}_{a}}$ konvergieren, auch die Folge ${\displaystyle {}_{\{c_{n}\}}}$ mit

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :\ a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$

konvergent gegen ${\displaystyle {}_{a}}$ ist.

Definition:

Der Grenzwert

${\displaystyle e:=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

ist die Euler`sche Zahl.

Definition:

Eine Folge ${\displaystyle {}_{\{a_{n}\}}}$ ist konvergent gegen Unendlich, wenn

${\displaystyle \forall i\in \mathbb {R} _{+}:\ \exists j=\operatorname {N} (i):\ \forall n\geq j:\ a_{n}\geq i}$

Definition:

Eine Folge ${\displaystyle {}_{\{a_{n}\}}}$ ist konvergent gegen minus Unendlich, wenn

${\displaystyle \forall i\in \mathbb {R} _{+}:\ \exists j=\operatorname {N} (i):\ \forall n\geq j:\ a_{n}\leq i}$