Kurs:Mathematik für Elektrotechnik/elementare Funktionen

Definition:

Der Einheitskreis ist ein Kreis in der Ebene mit einem Mittelpunkt im Ursprung ${\displaystyle {}_{O}}$ und dem Radius ${\displaystyle {}_{1}}$.

Definition:

Ein Winkel ${\displaystyle {}_{\alpha }}$ entspricht einem Punkt ${\displaystyle {}_{P}}$ auf dem Einheitskreis und liegt zwischen der positiven Achse in Richtung ${\displaystyle {}_{x}}$ und dem Strahl ${\displaystyle {}_{\overline {OP}}}$.

Definition:

Das Bogenmaß ${\displaystyle {}_{x}}$ stellt die Länge des Kreisbogens vom Punkt mit den Koordinaten ${\displaystyle {}_{(1,0)}}$ zum Punkt ${\displaystyle {}_{P}}$ dar.

Definition:

Bei der Bestimmung des Winkels und des Bogenmaßes wird die Orientierung so gewählt, dass eine Drehung gegen den Urzeigersinn einem positiven Winkel entspricht.

Definition:

Dem ganzen Kreis entspricht ein Winkel von 360° bzw. das Bogenmaß ${\displaystyle {}_{2\,\pi }}$.

Satz:

Es gilt der Zusammenhang

${\displaystyle x=x\,{\frac {{180}^{\circ }}{\pi }}=\alpha \,{\frac {\pi }{{180}^{\circ }}}=\alpha }$

Definition:

Die Kosinusfunktion ${\displaystyle {}_{\cos }}$ und die Sinusfunktion ${\displaystyle {}_{\sin }}$ werden wie folgt definiert:

1. ${\displaystyle \cos :\ \mathbb {R} \rightarrow \left[-1,1\right],\quad x\mapsto \cos x}$
2. ${\displaystyle \sin :\ \mathbb {R} \rightarrow \left[-1,1\right],\quad x\mapsto \sin x}$

Hierbei ist ${\displaystyle {}_{(\cos x,\ \sin x)}}$ der dem Bogenmaß ${\displaystyle {}_{x}}$ entsprechende Punkt ${\displaystyle {}_{P}}$ im Einheitskreis.

Satz:

Da das Bogenmaß ${\displaystyle {}_{x}}$ ${\displaystyle {}_{2\,\pi }}$-periodisch ist, sind auch ${\displaystyle {}_{\sin x}}$ und ${\displaystyle {}_{\cos x}}$ ${\displaystyle {}_{2\,\pi }}$-periodisch.

Beweis:

1. ${\displaystyle \cos(x+2\,\pi )=\cos x}$
2. ${\displaystyle \sin(x+2\,\pi )=\sin x}$

Satz:

Es gelten zudem die folgenden Zusammenhänge:

• ${\displaystyle \sin(x+\pi )=-\sin x}$
• ${\displaystyle \cos(x+\pi )=-\cos x}$
• ${\displaystyle \cos x=\sin \left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \sin x=\cos \left(x-{\frac {\pi }{2}}\right)}$

Satz:

Für die Nullstellen gilt:

• ${\displaystyle {}_{\sin x}}$ hat die Nullstellen

  ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} :\ x=k\,\pi }$

• ${\displaystyle {}_{\cos x}}$ hat die Nullstellen

  ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} :\ x=\left(k+{\frac {1}{2}}\right)\,\pi }$

Satz:

• ${\displaystyle {}_{\sin x}}$ ist ungerade:

  ${\displaystyle \sin x\neq \sin(-x)}$

• ${\displaystyle {}_{\cos x}}$ ist gerade:

  ${\displaystyle \cos x=\cos(-x)}$

Satz:

• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\ \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}$

Satz:

• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\ \left|\sin x\right|\leq 1}$
• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\ \left|\cos x\right|\leq 1}$

Satz:

Der Sinussatz besagt, dass in einem Dreieck mit den Seiten ${\displaystyle {}_{a}}$, ${\displaystyle {}_{b}}$ und ${\displaystyle {}_{c}}$, sowie den jeweils gegenüberliegenden Winkeln ${\displaystyle {}_{\alpha }}$, ${\displaystyle {}_{\beta }}$ und ${\displaystyle {}_{\gamma }}$ der Zusammenhang

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}}$

gilt.

Beweis:

1. Sei ${\displaystyle {}_{h_{a}}}$ die Höhe des Dreiecks durch den Punkt ${\displaystyle {}_{A}}$, welche normal auf die Seite ${\displaystyle {}_{a}}$ steht. Der Punkt ${\displaystyle {}_{A}}$ sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten ${\displaystyle {}_{b}}$ und ${\displaystyle {}_{c}}$. Aus ${\displaystyle {}_{\sin \gamma ={\frac {h_{a}}{b}}}}$ und ${\displaystyle {}_{\sin \beta ={\frac {h_{a}}{c}}}}$ folgt ${\displaystyle {}_{b\,\sin \gamma =c\,\sin \beta }}$.
2. Sei ${\displaystyle {}_{h_{b}}}$ die Höhe des Dreiecks durch den Punkt ${\displaystyle {}_{B}}$, welche normal auf die Seite ${\displaystyle {}_{b}}$ steht. Der Punkt ${\displaystyle {}_{B}}$ sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten ${\displaystyle {}_{a}}$ und ${\displaystyle {}_{c}}$. Aus ${\displaystyle {}_{\sin \gamma ={\frac {h_{c}}{a}}}}$ und ${\displaystyle {}_{\sin \alpha ={\frac {h_{c}}{c}}}}$ folgt ${\displaystyle {}_{a\,\sin \gamma =c\,\sin \alpha }}$.
3. Sei ${\displaystyle {}_{h_{c}}}$ die Höhe des Dreiecks durch den Punkt ${\displaystyle {}_{C}}$, welche normal auf die Seite ${\displaystyle {}_{c}}$ steht. Der Punkt ${\displaystyle {}_{C}}$ sei hierbei der Schnittpunkt der Seiten ${\displaystyle {}_{a}}$ und ${\displaystyle {}_{b}}$. Aus ${\displaystyle {}_{\sin \alpha ={\frac {h_{c}}{b}}}}$ und ${\displaystyle {}_{\sin \beta ={\frac {h_{c}}{a}}}}$ folgt ${\displaystyle {}_{a\,\sin \beta =b\,\sin \alpha }}$.

Durch Gleichsetzen erhält man den Sinussatz. Einer der in diesem Beweis genannten Sätze ist hierbei redundant und kann für die Beweisführung entfallen.

Satz:

Der Kosinussatz besagt, dass in einem Dreieck mit den Seiten ${\displaystyle {}_{a}}$, ${\displaystyle {}_{b}}$ und ${\displaystyle {}_{c}}$, sowie den jeweils gegenüberliegenden Winkeln ${\displaystyle {}_{\alpha }}$, ${\displaystyle {}_{\beta }}$ und ${\displaystyle {}_{\gamma }}$ die Zusammenhänge

1. ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\,\cos \alpha }$
2. ${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\,a\,c\,\cos \beta }$
3. ${\displaystyle c^{2}=b^{2}+a^{2}-2\,b\,a\,\cos \gamma }$

gelten. Hierbei können jeweils zwei dieser Gleichungen aus der jeweils dritten Gleichung abgeleitet werden.

Beweis:

TODO

Satz:

${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} \ :}$

1. ${\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin x\,\cos y\pm \cos x\,\sin y}$
2. ${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x\,\cos y\mp \sin x\,\sin y}$
3. ${\displaystyle \sin(2\,x)=2\,\sin x\,\cos x}$
4. ${\displaystyle \cos(2\,x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x}$
5. ${\displaystyle 2\,\sin ^{2}x=1-\cos(2x)}$
6. ${\displaystyle 2\,\cos ^{2}x=1+\cos(2x)}$
7. ${\displaystyle 2\,\cos x\,\cos y=\cos(x-y)+\cos(x+y)}$
8. ${\displaystyle 2\,\sin x\,\cos y=\sin(x-y)+\sin(x+y)}$
9. ${\displaystyle 2\,\sin x\,\sin y=\cos(x-y)-\cos(x+y)}$
10. ${\displaystyle \sin x\pm \sin y=2\,\sin {\frac {x\pm y}{2}}\,\cos {\frac {x\mp y}{2}}}$
11. ${\displaystyle \cos y+\cos y=2\,\cos {\frac {x+y}{2}}\,\cos {\frac {x-y}{2}}}$
12. ${\displaystyle \cos x-\cos y=-2\,\sin {\frac {x+y}{2}}\,\sin {\frac {x-y}{2}}}$

Beweis:

TODO

Definition:

Der Tangens ${\displaystyle {}_{\tan }}$ ist wie folgt definiert:

• ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} :\ \tan :\ \left]-{\frac {k\,\pi }{2}},{\frac {k\,\pi }{2}}\right[\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {\sin x}{\cos x}}}$

oder

• ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} :\ \tan :\ \mathbb {R} \setminus \left(\pi \,k+{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {\sin x}{\cos x}}}$

Definition:

Der Kotangens ${\displaystyle {}_{\cot }}$ ist wie folgt definiert:

• ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} :\ \cot :\ \left]k,k\,\pi \right[\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1}{\tan x}}}$

oder

• ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} :\ \cot :\ \mathbb {R} \setminus \left(k\,\pi \right)\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1}{\tan x}}}$

Satz:

Tangens und Kotangens sind ${\displaystyle {}_{\pi }}$-periodisch.

Satz:

Der Tangens ist wegen

${\displaystyle \tan x=-\tan(-x)}$

ungerade.

Satz:

Der Kotangens ist wegen

${\displaystyle \cot x=-\cot(-x)}$

ungerade.

Satz:

${\displaystyle \cot x=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$

Satz:

Das Additionstheorem für Tangens lautet:

${\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\,\tan y}}}$

Satz:

Das Additionstheorem für Kotangens lautet:

${\displaystyle \cot(x\pm y)={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}}$

Satz:

Es gilt die Ungleichung

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\ \left|\sin x\right|\leq \left|x\right|}$

Beweis:

TODO

Satz:

Es gilt die Ungleichung

${\displaystyle x\in \left]0,{\frac {\pi }{2}}\right[:\ x\leq \tan x}$

Beweis:

TODO

Satz:

Die Funktionen ${\displaystyle {}_{\sin x}}$, ${\displaystyle {}_{\cos x}}$, ${\displaystyle {}_{\tan x}}$ und ${\displaystyle {}_{\cot x}}$ sind im Definitionsbereich stetig.

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{\tan x}}$ hat an den Stellen

${\displaystyle k\in \mathbb {Z} :\ x=k\,\pi +{\frac {\pi }{2}}}$

Pole erster Ordnung.

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{\cot x}}$ hat an den Stellen

${\displaystyle k\in \mathbb {Z} :\ x=k\,\pi }$

Pole erster Ordnung.

Beweis:

TODO

Definition:

Der Arcus sinus ist die Umkehrfunktion des Sinus. Da der Sinus im Bereich ${\displaystyle {}_{\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}}$ stetig und streng monoton wachsend ist, wird der Arcus sinus wie folgt definiert:

${\displaystyle \arcsin :\ \left[-1,1\right]\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],\ x\mapsto \arcsin x}$

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{\arcsin x}}$ ist stetig und streng monoton wachsend.

Definition:

Der Arcus cosinus ist die Umkehrfunktion des Kosinus. Da der Kosinus im Bereich ${\displaystyle {}_{\left]0,\pi \right[}}$ stetig und streng monoton fallend ist, wird der Arcus cosinus wie folgt definiert:

${\displaystyle \arccos :\ \left[-1,1\right]\to \left[0,\pi \right],\ x\mapsto \arccos x}$

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{\arctan x}}$ ist stetig und streng monoton fallend.

Definition:

Der Arcus tangens ist die Umkehrfunktion des Tangens. Da der Tangens im Bereich ${\displaystyle {}_{\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}}$ stetig ist, wird der Arcus tangens wie folgt definiert:

${\displaystyle \arctan :\ \mathbb {R} \rightarrow \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[,\ x\mapsto \arctan x}$

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{\arctan x}}$ ist stetig und streng monoton wachsend.

Satz:

Es gilt:

${\displaystyle \lim \limits _{x\to \pm \infty }\left(\arctan x\right)=\pm {\frac {\pi }{2}}}$

Definition:

Die allgemeine Potenzfunktion mit der Basis ${\displaystyle {}_{x}}$ und dem Exponenten ${\displaystyle {}_{y}}$ wird als

${\displaystyle y\mapsto x^{y}}$

angegeben. Dies wird auch als allgemeine Potenzfunktion zum Exponenten ${\displaystyle {}_{y}}$ bezeichnet.

Der Definitionsbereich der Potenzfunktion ist vom Exponenten abhängig:

• für ${\displaystyle {}_{y\in \mathbb {Z} \land y>0}}$ ist ${\displaystyle {}_{x^{y}}}$ ein auf ${\displaystyle {}_{\mathbb {R} }}$ definiertes Polynom.
• für ${\displaystyle {}_{y\in \mathbb {Z} \land y<0}}$ ist ${\displaystyle {}_{x^{y}}}$ ein auf ${\displaystyle {}_{\mathbb {R} \setminus 0}}$ definierte rationale Funktion.
• für ${\displaystyle {}_{y=0}}$ ist die Funktion gleich ${\displaystyle {}_{1}}$.
• für ${\displaystyle {}_{y\in \mathbb {R} \setminus Z\land y\neq 0}}$ sind der Definitionsbereich und das Bild das Intervall ${\displaystyle {}_{\left[0,\infty \right)}}$.
• für ${\displaystyle {}_{y\in \mathbb {R} \setminus Z\land y<0}}$ sind der Definitionsbereich und das Bild das Intervall ${\displaystyle {}_{\left(0,\infty \right)}}$.

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{x^{y}}}$ ist im Bereich ${\displaystyle {}_{y<0}}$ streng monoton fallend und im Bereich ${\displaystyle {}_{y>0}}$ streng monoton wachsend.

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{x^{y}}}$ ist in ihrem Definitionsbereich stetig.

Definition:

Die allgemeine Exponentialfunktion mit der Basis ${\displaystyle {}_{x}}$ und dem Exponenten ${\displaystyle {}_{y}}$ wird als

${\displaystyle {\forall x\in \mathbb {R} }\land {x>0}:\ \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+},\ x\mapsto x^{y}}$

angegeben. Dies wird auch als allgemeine Exponentialfunktion zur Basis ${\displaystyle {}_{x}}$ bezeichnet.

Satz:

Für die allgemeine Exponentialfunktion gilt das Multiplikationstheorem

${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {R} :\ x^{a}\,x^{b}=x^{a+b}}$

Beweis:

TODO: siehe Rechenregeln für rationale und reelle Zahlen.

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{x^{y}}}$ ist für

1. ${\displaystyle {}_{x>1}}$ streng monoton wachsend.
2. ${\displaystyle {}_{x=1}}$ konstant.
3. ${\displaystyle {}_{x>1}}$ streng monoton fallend.

Satz:

Die allgemeine Exponentialfunktion ist auf ${\displaystyle {}_{\mathbb {R} }}$ stetig.

Beweis:

Es gelten ${\displaystyle {}_{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x^{\frac {1}{n}}=1}}$ und ${\displaystyle {}_{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x^{-{\frac {1}{n}}}=1}}$.

Zu einem beliebigen ${\displaystyle {}_{\epsilon >0}}$ gibt es daher eine natürliche Zahl ${\displaystyle {}_{n:=N(\epsilon )\in \mathbb {N} }}$, so dass für ${\displaystyle {}_{x>1}}$ der Zusammenhang

${\displaystyle 1-\epsilon <x^{-{\frac {1}{n}}}<x^{\frac {1}{n}}<1+\epsilon }$

gilt.

Für ${\displaystyle {}_{\left|y\right|<{\frac {1}{n_{\epsilon }}}=\delta (\epsilon )}}$ folgt hieraus aufgrund der Monotonie der Exponentialfunktion der Zusammenhang

${\displaystyle 1-\epsilon <x^{y}<1+\epsilon }$

Die Funktion ${\displaystyle {}_{x^{y}}}$ ist somit an der Stelle ${\displaystyle {}_{y=0}}$ stetig.

Für ${\displaystyle {}_{y\neq 0}}$ schreibt man ${\displaystyle {}_{x^{y'}=x^{y}\,x^{{y'}-y}}}$. Der Beweis erfolgt über den Satz der Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen.

Für ${\displaystyle {}_{y\in \left]0,1\right[}}$ folgt die Stetigkeit durch Einsetzen von ${\displaystyle {}_{y={\frac {1}{b}}}}$ mit ${\displaystyle {}_{b\in \mathbb {R} \land b>1}}$.

Satz:

Es gilt:

1. ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \land x>1:}$

   ${\displaystyle \lim \limits _{y\rightarrow \infty }x^{y}=\infty }$

   ${\displaystyle \lim \limits _{y\rightarrow -\infty }x^{y}=0}$

2. ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \land x\in \left]0,1\right[:}$

   ${\displaystyle \lim \limits _{y\rightarrow \infty }x^{y}=0}$

   ${\displaystyle \lim \limits _{y\rightarrow -\infty }x^{y}=\infty }$

Definition:

Es sei ${\displaystyle {}_{b\in \mathbb {R} \land b>0}}$. Die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion ${\displaystyle {}_{b^{x}}}$ ist definiert durch

${\displaystyle \log _{b}:\ \mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ,\ y\mapsto \log _{b}x}$

und wird als Logarithmus zur Basis ${\displaystyle {}_{b}}$ bezeichnet.

Satz:

Es gilt:

1. ${\displaystyle y=\log _{b}x\Leftrightarrow x=b^{y}}$
2. ${\displaystyle \forall x\in \left]0,\infty \right[:\ b^{\log _{b}x}=x}$
3. ${\displaystyle \forall y\in \left]-\infty ,\infty \right[:\ \log _{b}b^{y}=y}$
4. ${\displaystyle \log _{b}b=1}$
5. ${\displaystyle \log _{b}1=0}$

Satz:

Für Logarithmen gelten die folgenden Rechenregeln:

1. ${\displaystyle \log _{b}x+\log _{b}y=\log _{b}x\,y}$ (Additionstheorem)
2. ${\displaystyle \log _{b}x^{y}=y\,\log _{b}x}$
3. ${\displaystyle \log _{b}z=\log _{a}z\,\log _{b}a}$

Beweis:

1. Im Multiplikationstheorem für die allgemeine Exponentialfunktion ${\displaystyle {}_{b^{x+y}=b^{x}\,b^{y}}}$ wird der Exponent ${\displaystyle {}_{x}}$ durch ${\displaystyle {}_{\log _{b}x}}$ und der Exponent ${\displaystyle {}_{y}}$ durch ${\displaystyle {}_{\log _{b}y}}$ ersetzt. Das Additionstheorem folgt aus

   ${\displaystyle b^{({\log _{b}x}+{\log _{b}y})}=b^{(\log _{b}x)}\,b^{(\log _{b}y)}=x\,y=b^{(\log _{b}x\,y)}}$

2. Mit ${\displaystyle {}_{r=\log _{b}y}}$ folgt aus ${\displaystyle {}_{(b^{r})^{x}=b^{r\,x}}}$ der Zusammenhang

   ${\displaystyle y^{x}=\left(b^{\log _{b}y}\right)^{x}=b^{x\,{(\log _{b}y)}}}$

3. Ersetzt man in ${\displaystyle {}_{\log _{b}a^{y}=y\,\log _{b}a}}$ die Variable ${\displaystyle {}_{y}}$ durch den Ausdruck ${\displaystyle {}_{\log _{a}z}}$, so erhält man den Zusammenhang

   ${\displaystyle \log _{b}a^{\log _{a}z}=\log _{b}z={\log _{a}z}\,\log _{b}a}$

Definition:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{e^{x}}}$ bzw. ${\displaystyle {}_{\exp x}}$ wird als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet.

${\displaystyle \exp :\ \mathbb {R} \rightarrow \left]0,\infty \right[,\ x\mapsto e^{x}}$

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{e^{x}}}$ ist auf dem gesamten Bereich ${\displaystyle {}_{x\in \mathbb {R} }}$ stetig und streng monoton wachsend.

Definition:

Die Umkehrfunktion von ${\displaystyle {}_{e^{x}}}$ ist ${\displaystyle {}_{\ln x}}$ und wird als natürlicher Logarithmus bezeichnet.

${\displaystyle \ln :\ \left]0,\infty \right[\rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto \ln x}$

Satz:

Für den natürlichen Logarithmus gelten die folgenden Zusammenhänge:

1. ${\displaystyle \ln 1=0}$
2. ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\ \ln e^{x}=x}$ (Spezialfall: ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\ \ln e=1}$)
3. ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \land x>0:\ e^{\ln x}=x}$

Satz:

Über ${\displaystyle {}_{x=e^{\ln x}}}$ erhält man im Definitionsbereich ${\displaystyle {}_{\left]0,\infty \right[}}$ für ${\displaystyle {}_{x^{y}}}$ den Zusammenhang ${\displaystyle {}_{x^{y}=e^{y\,\ln x}}}$.

Satz:

Es gilt

${\displaystyle \forall x\in \left]0,\infty \right[:\ \log _{b}x={\frac {\ln x}{\ln b}}}$

Satz:

Alle Hyperbelfunktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig.

Definition:

Der Cosinus hyperbolicus wird definiert über

${\displaystyle \cosh :\ \mathbb {R} \rightarrow \left[1,\infty \right[,\ x\mapsto {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=-i\,\sin(i\,x)}$

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{\cosh }}$ ist gerade.

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{\cosh }}$ ist im Bereich ${\displaystyle {}_{\left]-\infty ,0\right]}}$ streng monoton fallend und im Bereich ${\displaystyle {}_{\left[0,\infty \right[}}$ streng monoton wachsend.

Satz:

Es gilt

1. ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow \pm \infty }\cosh x=\infty }$
2. ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow \infty }\cosh x=\infty }$
3. ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow -\infty }\cosh x=-\infty }$
4. ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow \infty }\cosh x=1}$
5. ${\displaystyle \lim \limits _{x\rightarrow -\infty }\cosh x=-1}$

Definition:

Der Sinus hyperbolicus wird definiert über

${\displaystyle \sinh :\ \mathbb {R} \rightarrow \left]-\infty ,\infty \right[,\ x\mapsto {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=\cos(i\,x)}$

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{\sinh }}$ ist ungerade.

Definition:

Der Tangens hyperbolicus wird definiert über

${\displaystyle \tanh :\ \mathbb {R} \rightarrow \left]-1,1\right[,\ x\mapsto {\frac {\sinh x}{\cosh x}}}$

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{\tanh }}$ ist ungerade.

Definition:

Der Cotangens hyperbolicus wird definiert über

${\displaystyle \coth :\ \mathbb {R} \setminus 0\rightarrow \mathbb {R} \setminus \left[1,1\right],\ x\mapsto {\frac {\cosh x}{\sinh x}}}$

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{\coth }}$ ist ungerade.

Satz:

Es gelten ${\displaystyle {}_{\forall x,y\in \mathbb {R} }}$ die folgenden Additionstheoreme:

1. ${\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}$
2. ${\displaystyle \cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh(2\,x)}$
3. ${\displaystyle \cosh x\pm \sinh x=e^{\pm x}}$
4. ${\displaystyle \cosh(x\pm y)=\cosh x\,\cosh y\pm \sinh x\,\sinh y}$
5. ${\displaystyle \sinh(x\pm y)=\sinh x\,\cosh y\pm \cosh x\,\sinh y}$

Diese Additionstheoreme ergeben sich über die Definition der Hyperbelfunktionen aus den Eigenschaften der Exponentialfunktion.

Definition:

Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen.

Satz:

Die Funktion Area sinus hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Sinus hyperbolicus. Sie wird definiert durch

${\displaystyle \operatorname {arsinh} :\ \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto \ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}$

Beweis:

Da die Funktion ${\displaystyle {}_{\sinh }}$ auf ${\displaystyle {}_{\mathbb {R} }}$ streng monoton wachsend ist, existiert eine Umkehrfunktion. Aus den Definitionen

${\displaystyle \sinh x={\frac {1}{2}}\,\left(e^{x}-e^{-x}\right)}$

und

${\displaystyle x=\sinh y\Leftrightarrow x=\operatorname {arsinh\,} y}$

folgt

${\displaystyle 2\,x=e^{y}-e^{-y}}$.

Mit ${\displaystyle {}_{e^{y}=z}}$ und anschließender Multiplikation mit ${\displaystyle {}_{z}}$ erhält man die quadratische Gleichung

${\displaystyle z^{2}-2\,x\,z-1=0}$

mit den Lösungen

${\displaystyle z_{1,2}=x\pm {\sqrt {x^{2}+1}}}$.

Da ${\displaystyle {}_{z>0}}$ ist, gilt

${\displaystyle z=e^{y}=x+{\sqrt {x^{2}+1}}}$.

Daraus erhält man

${\displaystyle y=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}$.

Satz:

Die Funktion Area cosinus hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Cosinus hyperbolicus. Sie gilt nur im Intervall ${\displaystyle {}_{\left[1,\infty \right[}}$ und ist definiert durch

${\displaystyle \operatorname {arcosh} :\ \left[1,\infty \right[\rightarrow \left[0,\infty \right[,\ x\mapsto \ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$

Beweis:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{y=\cosh x}}$ jeden Wert ${\displaystyle {}_{y\in \left]0,\infty \right[}}$ zweimal an.

Auf dem Bereich ${\displaystyle {}_{x\in \left[0,\infty \right[}}$ ist sie streng monoton wachsend. In diesem Bereich existiert daher eine Umkehrfuktion. Aus den Definitionen

${\displaystyle \cosh x={\frac {1}{2}}\,\left(e^{x}+e^{-x}\right)}$

und

${\displaystyle x=\cosh y\Leftrightarrow x=\operatorname {arcosh\,} y}$

folgt

${\displaystyle 2\,x=e^{y}+e^{-y}}$.

Mit ${\displaystyle {}_{e^{y}=z}}$ und anschließender Multiplikation mit ${\displaystyle {}_{z}}$ erhält man die quadratische Gleichung

${\displaystyle z^{2}-2\,x\,z+1=0}$

mit den Lösungen

${\displaystyle z_{1,2}=x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}}$.

Da ${\displaystyle {}_{z>0}}$ ist, gilt

${\displaystyle z=e^{y}=x+{\sqrt {x^{2}-1}}}$.

Daraus erhält man

${\displaystyle y=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$.

Satz:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{-\operatorname {arcosh\,} y}}$ ist die Umkehrfunktion von ${\displaystyle {}_{y=f(x)=\cosh x}}$ mit ${\displaystyle {}_{x\in \left[0,-\infty \right[}}$.

Satz:

Die Funktion Area tangens hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Tangens hyperbolicus. Sie ist definiert durch

${\displaystyle \operatorname {artanh} :\ \left]-1,1\right[\rightarrow \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {1+x}{1-x}}}$

Beweis:

Die Funktion ${\displaystyle {}_{\tanh }}$ ist auf ${\displaystyle {}_{\mathbb {R} }}$ streng monoton wachsend. Es existiert daher eine Umkehrfunktion.

Aus der Definition von ${\displaystyle {}_{x=\tanh y}}$ folgt mit ${\displaystyle {}_{z=e^{y}}}$ die Gleichung

${\displaystyle x={\frac {z-{\frac {1}{z}}}{z+{\frac {1}{z}}}}}$.

Durch Umformen erhält man

${\displaystyle z^{2}={\frac {1+x}{1-x}}}$.

Daraus erhält man durch Logarithmieren die Gleichung

${\displaystyle y=\ln z={\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {1+x}{1-x}}}$.

Satz:

Die Funktion Area cotangens hyperbolicus ist die Umkehrfunktion des Cotangens hyperbolicus. Sie wird definiert durch

${\displaystyle \operatorname {arcoth} :\ \mathbb {R} \setminus \left[-1,1\right]\rightarrow \mathbb {R} \setminus 0,\ x\mapsto {\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {x+1}{x-1}}}$

Beweis:

TODO