Kurs:Quantencomputing/Ableitungen

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Die Ableitung einer stetigen Funktion ${\displaystyle f(x)}$ ist durch
${\displaystyle f'(x)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$
definiert.

Liste einfacher Ableitungen

${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f'(x)}$
${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle x}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle x^{2}}$	${\displaystyle 2x}$
${\displaystyle x^{n}}$	${\displaystyle n\cdot x^{n-1}}$
${\displaystyle \operatorname {sin} (x)}$	${\displaystyle \operatorname {cos} (x)}$
${\displaystyle \operatorname {cos} (x)}$	${\displaystyle -\operatorname {sin} (x)}$
${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}$	${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}$

Ableitungen gehorchen den folgenden Regeln

• Linearität ${\displaystyle (a\cdot f(x)+b\cdot g(x))'=a\cdot f'(x)+b\cdot g'(x)}$
• Produktregel ${\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)}$
• Kettenregel ${\displaystyle (f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)}$
• Quotientenregel ${\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)={\frac {f'(x)\cdot g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}}$

Bestimme ${\displaystyle f'(x)}$ für

• ${\displaystyle f(x)=3x^{2}-2x\operatorname {sin} (x)+3-2\operatorname {cos} (3x)}$
• ${\displaystyle g(x)=\operatorname {sin} (x)\cdot \operatorname {cos} (x)+3\mathrm {e} ^{-2x^{2}}}$
  
  

Lösungen

• Weiteres lässt sich im Wikipedia-Artikel Differenzierbarkeit einsehen.