Kurs:Quantencomputing/Integrale

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Für eine stetige Funktion ${\displaystyle f(x)}$ wird die Stammfunktion ${\displaystyle F(x)}$ durch ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$ definiert. Sie kann dazu benutzt werden, die Fläche zwischen der Funktion ${\displaystyle f(x)}$ und der ${\displaystyle x}$-Achse auf dem Intervall ${\displaystyle (a,b)}$ zu bestimmen. Dazu wird das bestimmte Integral
${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathrm {d} x\,f(x)=F(b)-F(a)}$
definiert. Stammfunktionen sind bis auf eine additive Konstante eindeutig, weshalb ${\displaystyle F(x)}$ auch oft durch den Ausdruck eines unbestimmten Integrals
${\displaystyle F(x)=\int \mathrm {d} x\,f(x)}$
angegeben wird.

Einige wichtige Stammfunktionen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.

Liste einfacher Stammfunktionen

${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle F(x)}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$
${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$	${\displaystyle c\cdot x}$
${\displaystyle x}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}}$
${\displaystyle x^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}x^{3}}$
${\displaystyle x^{n}}$	${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}x^{n+1}}$
${\displaystyle \operatorname {sin} (x)}$	${\displaystyle -\operatorname {cos} (x)}$
${\displaystyle \operatorname {cos} (x)}$	${\displaystyle \operatorname {sin} (x)}$
${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}$	${\displaystyle \mathrm {e} ^{x}}$

Aus den Ableitungsregeln lassen sich auch einige Regeln für Integrale herleiten.

• Linearität ${\displaystyle \int \mathrm {d} x\,(a\cdot f(x)+b\cdot g(x))=a\cdot \int \mathrm {d} x\,f(x)+b\cdot \int \mathrm {d} x\,g(x)}$
• Partielle Integration ${\displaystyle \int \mathrm {d} x\,f(x)\cdot g'(x)=f(x)\cdot g(x)-\int \mathrm {d} x\,f'(x)\cdot g(x)}$
• Substitutionsregel I ${\displaystyle \int \mathrm {d} x\,u'(x)\cdot f(u(x))=\int \mathrm {d} u\,f(u)}$
• Substitutionsregel II ${\displaystyle \int \mathrm {d} x\,f(x)=\int \mathrm {d} u\,x'(u)\cdot f(x(u))}$

Bestimme für ${\displaystyle f(x)=3x^{2}-2x\operatorname {sin} (x)+1-3\operatorname {cos} (2x)}$ die Stammfunktion ${\displaystyle F(x)}$ und das bestimmte Integral ${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\mathrm {d} x\,\operatorname {cos} (x)\cdot \operatorname {sin} (\operatorname {sin} (x))}$.

Lösungen

• Weitere Informationen können im Wikipedia-Artikel Riemann Integral gefunden werden.