Kurs:Quantencomputing/Hilbertraum

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Eine Abbildung ${\displaystyle \|\cdot \|:V\to \mathbb {R} _{0}^{+}}$ heißt Norm, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

• Definitheit: ${\displaystyle \||v\rangle \|=0\Rightarrow |v\rangle =0}$
• Abolute Homogenität: ${\displaystyle \|\lambda \cdot |v\rangle \|=|\lambda |\cdot \||v\rangle \|}$
• Dreiecksungleichung: ${\displaystyle \||v\rangle +|w\rangle \|\leq \||v\rangle \|+\||w\rangle \|}$

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Raum.

Eine zweistellige Verknüpfung ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {K} }$ vom Vektorraum ${\displaystyle V}$ auf die rellen oder komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {C} ,\mathbb {R} \}}$ heißt Skalarprodukt, falls sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

• Sesquilinearität: ${\displaystyle \langle v|\lambda w+\mu u\rangle =\lambda \langle v|w\rangle +\mu \langle v|u\rangle }$
• Hermitizität: ${\displaystyle \langle w|v\rangle =(\langle v|w\rangle )^{*}}$
• Positive Definitheit: ${\displaystyle \langle v|v\rangle \geq 0}$; ${\displaystyle \langle v|v\rangle =0\Leftrightarrow |v\rangle =0}$

Ist ${\displaystyle \langle v|w\rangle =0}$, so heißen ${\displaystyle |v\rangle }$ und ${\displaystyle |w\rangle }$ orthogonal.

Mit dem Skalarprodukt lässt sich eine Norm über ${\displaystyle \||v\rangle \|={\sqrt {\langle v|v\rangle }}}$ aufstellen. Sie wird als skalarprodukt induzierte Norm bezeichnet.

Aus der Definition des Skalarprodukts folgt die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung:

${\displaystyle |\langle v|w\rangle |^{2}\leq \langle v|v\rangle \langle w|w\rangle }$

Besitzt ein Vektorraum ein Skalarprodukt, so wird er als Skalarproduktraum bezeichnet.

Eine Folge von Elementen ${\displaystyle |v_{n}\rangle \in V}$ eines normierten Raums mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ heißt Cauchy-Folge, wenn für ein beliebiges ${\displaystyle \epsilon >0}$ immer ein ${\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} }$ existiert, so dass für alle ${\displaystyle n,m\geq N_{\epsilon }}$ die Gleichung

${\displaystyle \||v_{n}\rangle -|v_{m}\rangle \|<\epsilon }$

erfüllt ist. Die Abstände zwischen Folgegliedern werden daher beliebig klein.

Ein Skalarproduktraum heißt Hilbertraum, wenn mit der skalarproduktinduzierten Norm alle Cauchy-Folgen konvergieren.

Wir werden vor allem den ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ betrachten. Mit dem in den Aufgaben eingeführten Skalarprodukt, handelt es sich um einen Hilbertraum.

Eine Menge von ${\displaystyle M}$ Vektoren ${\displaystyle |v_{m}\rangle \in V}$ eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ und eine Menge von ${\displaystyle M}$ reellen oder komplexen Zahlen ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ bilden den Ausdruck

${\displaystyle \lambda _{0}|v_{0}\rangle +\lambda _{1}|v_{1}\rangle +\cdots +\lambda _{M-1}|v_{M-1}\rangle }$

der als Linearkombination bezeichnet wird.

Ist die einzige Lösung zur Gleichung

${\displaystyle \lambda _{0}|v_{0}\rangle +\lambda _{1}|v_{1}\rangle +\cdots +\lambda _{M-1}|v_{M-1}\rangle =0}$

durch ${\displaystyle \lambda _{0}=\lambda _{1}=\cdots =\lambda _{M-1}=0}$ gegeben, so wird die Menge der ${\displaystyle M}$ Vektoren als linear unabhängig bezeichnet.

Jede Menge von ${\displaystyle M}$ paarweise orthogonalen Vektoren

${\displaystyle \langle v_{n}|v_{m}\rangle =0\quad n\neq m}$

eines Skalarproduktraums ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren.

Eine Menge ${\displaystyle B}$ mit den Elementen ${\displaystyle |n\rangle \in V}$ eines Hilbertraums wird als vollständige Orthonormalbasis bezeichnet, wenn die Bedingung

${\displaystyle \langle n|m\rangle =0\quad n\neq m;\quad \quad \langle n|n\rangle =1}$

erfüllt ist und für beliebige ${\displaystyle |v\rangle \in V}$ der Zusammenhang

${\displaystyle |v\rangle =\sum _{n}|n\rangle \langle n|v\rangle }$

gilt.

• Wie lässt sich die Norm auf dem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ auf den ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ verallgemeinern? Finde damit die Norm von ${\displaystyle |v\rangle ={\begin{pmatrix}2+\mathrm {i} \\-3+2\mathrm {i} \end{pmatrix}}}$.
• Zeige, dass ${\displaystyle \langle v|w\rangle =\sum _{k=0}^{N-1}=v_{k}^{*}w_{k}}$ ein Skalarprodukt auf dem ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ ist.
• (optional) Bestimme einen allgemeinen Ausdruck für ${\displaystyle \langle \lambda v+\mu w|u\rangle }$
• (optional) Zeige die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung, indem Du den Ausdruck ${\displaystyle \langle v-\lambda w|v-\lambda w\rangle }$ für ein passendes ${\displaystyle \lambda }$ auswertest.
• Sind die Vektoren ${\displaystyle |v\rangle ={\begin{pmatrix}1+\mathrm {i} \\-2+3\mathrm {i} \end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle |w\rangle ={\begin{pmatrix}0+2\mathrm {i} \\-5+\mathrm {i} \end{pmatrix}}}$ linear unabhägig?
• (optional) Beweise, dass eine Menge von ${\displaystyle M}$ paarweise orthogonalen Vektoren eine Menge von linear unabhängigen Vektoren ist.
• Betrachte die Vektoren ${\displaystyle |0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$ und zeige, dass diese eine Bais des ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ bilden. Wie lässt sich dies auf den ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ übertragen.

Lösungen

• Weitere Informationen können in den Wikipedia-Artileln Norm, Skalarprodukt, Cauchy-Folge, Hilbertraum, Lineare Unabhängigkeit und Basis gefunden werden.