Kurs:Quantencomputing/Vektorraum

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Es seien eine Menge ${\displaystyle V}$ mit den Elementen ${\displaystyle |v\rangle }$ und ein Körper ${\displaystyle K}$ mit der additiven Verknüfpung ${\displaystyle +}$, der Multiplikativen Verknüpfung ${\displaystyle \cdot }$ und dem Neutralen Element bzgl. der Multiplikation ${\displaystyle 1}$ gegeben.
Darüber hinaus sollen eine Innere Verknüpfung ${\displaystyle \oplus :V\times V\to V}$ und eine Äußere Verknüpfung ${\displaystyle \otimes :K\times V\to V}$ gegeben sein.
${\displaystyle (V,\oplus ,\odot ,K)}$ heißt Vektorraum, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind

• ${\displaystyle (V,\oplus ,0)}$ ist eine abelsche Gruppe
• Für beliebige ${\displaystyle \lambda ,\mu \in K}$ und ${\displaystyle |v\rangle ,|w\rangle \in V}$ gelten
  • ${\displaystyle 1\odot |v\rangle =|v\rangle }$
  • ${\displaystyle (\lambda \cdot \mu )\odot |v\rangle =\lambda \odot (\mu \odot |v\rangle )}$
  • ${\displaystyle \lambda \odot (|v\rangle \oplus |w\rangle )=\lambda \odot |v\rangle \oplus \lambda \odot |w\rangle }$
  • ${\displaystyle (\lambda +\mu )\odot |v\rangle =\lambda \odot |v\rangle \oplus \mu \odot |v\rangle }$

• Meistens werden die Innere und Äußerer Verknüpfung nicht gesondert von der additiven und Multiplikativen Verknüpfung auf ${\displaystyle K}$ hervorgehoben.
• Es wird das Symbol der Äußeren Verknüpfung oft unterdrückt, so dass ${\displaystyle \lambda |v\rangle =\lambda \cdot |v\rangle =\lambda \odot |v\rangle }$ alle das selbe meinen.
• Manchmal wird die Abkürzende Schreibweise ${\displaystyle \lambda |v\rangle +\mu |w\rangle =|\lambda v+\mu w\rangle }$ verwendet.

In diesem Kurs wird vor allem der Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ über dem Körper ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle N=2^{n}}$ betrachtet. ${\displaystyle n}$ stellt später die Anzahl der Qubits dar.
Ein Vektor ${\displaystyle |v\rangle }$ kann dann durch
${\displaystyle |v\rangle ={\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{N-1}\end{pmatrix}}\quad \quad v_{0},v_{1},\dots ,v_{N-1}\in \mathbb {C} }$
ausgedrückt werden. Die Innere und Äußere Verknüpfung sind jeweils durch
${\displaystyle |v\rangle +|w\rangle ={\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{N-1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}w_{0}\\w_{1}\\\vdots \\w_{N-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{0}+w_{0}\\v_{1}+w_{1}\\\vdots \\v_{N-1}+w_{N-1}\end{pmatrix}}}$
und
${\displaystyle \lambda |v\rangle =\lambda {\begin{pmatrix}v_{0}\\v_{1}\\\vdots \\v_{N-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda v_{0}\\\lambda v_{1}\\\vdots \\\lambda v_{N-1}\end{pmatrix}}}$
definiert.

• Bestimme die folgenden Elemente des Vektorraums ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$
  

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2+\mathrm {i} \\-3+2\mathrm {i} \end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1+3\mathrm {i} \\5-2\mathrm {i} \end{pmatrix}}\quad \quad (2+3\mathrm {i} )\cdot {\begin{pmatrix}1+\mathrm {i} \\-3+2\mathrm {i} \end{pmatrix}}}$

• (optional) Zeige, dass es sich bei ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$ tatsächlich um einen Vektorraum über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ handelt.
  
  

Lösungen

• Weitere Informationen können in dem Wikipedia-Artilel Vektorraum gefunden werden.