Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 29

Bestimme das Residuum der Kohomologieklasse ${\displaystyle {}[z^{-1}dz]\in H^{1}({\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1},\Omega _{{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}})}$ über eine repräsentierende Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen.

Bestimme das Gesamtresiduum für die Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen auf der projektiven Geraden ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$, die die Trägerpunkte ${\displaystyle {}0,3,\infty }$ besitzt mit den repräsentierenden meromorphen Differentialformen ${\displaystyle {}{\frac {\mathrm {i} }{z}}dz}$ in ${\displaystyle {}0}$, ${\displaystyle {}{\frac {2}{z-3}}d(z-3)}$ in ${\displaystyle {}3}$ und ${\displaystyle {}{\frac {4-{\mathrm {i} }}{w}}dw}$ in ${\displaystyle {}\infty }$ (${\displaystyle {}w=z^{-1}}$).

Wir betrachten die meromorphe Differentialform ${\displaystyle {}\omega ={\frac {z+1}{z(z-1)}}dz}$ auf der projektiven Geraden ${\displaystyle {}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}}$.

1. Bestimme zu jedem Punkt den zugehörigen Hauptteil der Differentialform.
2. Berechne in jedem Punkt das Residuum.
3. Bestätige, dass das Gesamtresiduum gleich ${\displaystyle {}0}$ ist.

Es sei ${\displaystyle {}X}$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und sei ${\displaystyle {}\tau \in \Gamma {\left(X,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\right)}}$ eine Hauptteilverteilung von meromorphen Differentialformen. Zeige ${\displaystyle {}\delta (\tau )=0}$ in ${\displaystyle {}H^{1}(X,\Omega _{X})}$ genau dann, wenn für das Gesamtresiduum ${\displaystyle {}\operatorname {Res} _{}\left(\tau \right)=0}$ ist.