Kurs:Stochastik/Approximation Binomialverteilung

Für große ${\displaystyle n}$ sind Wahrscheinlichkeiten, die nicht mit der ${\displaystyle B(n,p)}$-Verteilung verknüpft sind, größenordnungsmäßig schlecht zu erfassen und umständlich zu berechnen. In diesem Abschnitt soll die Binomialverteilung einerseits durch die Standardnormalverteilung approximiert werden und andererseits bei konvergentem ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\cdot p_{n}=\lambda }$ die Approximation durch die Poissonverteilung untersucht werden.

Es gilt:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\phi (x)dx=1}$

mit der Standard-Normalenverteilung ${\displaystyle \phi }$.

${\displaystyle (\int _{-\infty }^{\infty }e^{\frac {-t^{2}}{2}}dt)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{\frac {-x^{2}}{2}}e^{\frac {-y^{2}}{2}}dxdy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{2}}dxdy}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{2\pi }\int _{-\infty }^{\infty }e^{\frac {-r^{2}}{2}}rdrd\theta =2\pi \int _{0}^{\infty }e^{\frac {-r^{2}}{2}}rdr=2\pi }$

Ferner definieren wir die sogenannte Verteilungsfunktion ${\displaystyle \Phi }$ der Standardnormalenverteilung:

${\displaystyle \Phi (x)=\int _{\infty }^{x}\phi (t)dt,x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle x=r\cdot cos\theta ,y=r\cdot sin\theta ,y^{2}+x^{2}=r^{2}}$

${\displaystyle |det{\begin{pmatrix}cos\theta &-r\cdot sin\theta \\sin\theta &r\cdot cos\theta \end{pmatrix}}|=r(sin^{2}\theta +cos^{2}\theta )=r}$

Ist ${\displaystyle X^{(n)}}$ ${\displaystyle B(n,p)}$-verteilt, ${\displaystyle 0<p<1}$, so gilt mit der Standardisierten ${\displaystyle X_{n}^{k}={\frac {X^{(n)}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}}$

${\displaystyle P(a\leq X_{n}^{*}\leq b)\to ^{n\to \infty }\int _{a}^{b}\phi (x)dx=\Phi (b)-\Phi (a).}$

Sei ${\displaystyle X^{(n)}}$ ${\displaystyle B(n,p)}$-verteilt, ${\displaystyle 0<p<1}$. Wegen ${\displaystyle EX^{(n)}=np}$ und ${\displaystyle Var(X^{(n)})=np(1-p)}$ läuft die Verteilung für wachsendes ${\displaystyle n}$ einerseits nach rechts, anderseits 'verläuft' sie auch in die Breite. Wir bilden deshalb die Standardisierte von ${\displaystyle X^{(n)}}$, d.h. ${\displaystyle X_{n}={\frac {X^{(n)}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}}$.

Die Verteilung von ${\displaystyle X_{n}}$ liegt 'glockenförmig' um 0, allerdings in 'diskreter Form'. Um die ideale 'Glockenforn' analytisch zu beschreiben, führen wir die Funktion ${\displaystyle \phi (X)}$ ein:

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}},x\in \mathbb {R} }$

Der Satz ist ein Spezialfall des sogenannten zentralen Grenzwertsatzes (später).

1. Insbesondere gilt: ${\displaystyle P(X_{n}^{*}\leq b){\stackrel {n\to \infty }{\to }}\Phi (b),P(X_{n}^{*}\geq a){\stackrel {n\to \infty }{\to }}1-\Phi (b)=\Phi (-a)}$

2. Zur approximativen Berechnung der Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle k\leq X^{(n)}\leq l}$ geht man wie folgt vor:

Bilde ${\displaystyle a={\frac {k-np}{\sqrt {np(1-p)}}},b={\frac {l-np}{\sqrt {np(1-p)}}};(a\equiv a_{n},b\equiv b_{n})}$, dann

${\displaystyle P(E_{1})=P(k\leq X^{(n)}\leq l)=P(a\leq X_{n}^{*}\leq b)=P(E_{2})\approx \Phi (b)-\Phi (a)}$

mit ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$ gleiche Ereignisse, und wenn ${\displaystyle n}$ groß genug ist. (Faustregel: ${\displaystyle np(1-p)\geq 10}$)

3. Für kleine ${\displaystyle n}$ ist noch eine sogenannte Stetigkeitskorrektur nützlich:

${\displaystyle a={\frac {k-np-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {np(1-p)}}},b={\frac {l-np+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {np(1-p)}}}}$

Ein Medikament heilt einen Patienten mit der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p=0,8}$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter ${\displaystyle n=1000}$ Patienten (denen das Medikament verabreicht wird) mindestens ${\displaystyle k=780}$ Patienten geheilt werden?

Ist ${\displaystyle p_{n},n\leq 1}$, eine Folge ${\displaystyle \in (0,1)}$ mit

(*) ${\displaystyle lim_{n\to \infty }np_{n}=\lambda >0,}$

so gilt

${\displaystyle lim_{n\to \infty }b(k;n,p_{n})={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda },k\in \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle 2\%}$ der Bevölkerung haben eine bestimmte Krankheit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter ${\displaystyle 100}$ Personen (zufällig herausgegriffen) mindestens ${\displaystyle 3}$ diese Krankheit haben?

a) ${\displaystyle X}$ binominalverteilt, ${\displaystyle B(100,0,02)}$-Verteilung

b) ${\displaystyle X}$ poissonverteilt, ${\displaystyle P(2)}$-Verteilung

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