Momente

Diese Seite zum Thema Momente kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

• (1) Definition von Momenten
• (2) Erwartungswert
• (3) Varianz

Vorbemerkung: Zwei Personen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ vereinbaren ein Würfelspiel.

• Ausgang '1': ${\displaystyle A}$ zahlt an ${\displaystyle B}$ 5€
• Ausgang '2', ..., '6': ${\displaystyle B}$ zahlt an ${\displaystyle A}$ 1€

Die Gewinnerwartung für die beiden Spieler beträgt hier Null: Erwarteter Gewinn von ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle 5\cdot {\frac {1}{6}}-1\cdot {\frac {1}{6}}-...-1\cdot {\frac {1}{6}}=0}$

("faires Spiel").

In der obigen Gleichung

${\displaystyle 5\cdot {\frac {1}{6}}-1\cdot {\frac {1}{6}}-...-1\cdot {\frac {1}{6}}=0}$

setzen sich die einzelnen Terme (z.B. ${\displaystyle 5\cdot {\frac {1}{6}}}$) aus dem Wert der Zufallsgröße ${\displaystyle X(1)=5}$ und der Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ für das Eintretens des Ereignisse ("1 gewürfelt") zusammen.

Sei ${\displaystyle X}$ eine auf einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}$ definierte Zufallsvariable, dann heißt

${\displaystyle E(X)=\sum _{x\in X(\Omega )}x\cdot P(X=x)=\sum _{x\in X(\Omega )}x\cdot P_{X}(\lbrace x\rbrace )}$

Erwartungswert von ${\displaystyle X}$, vorausgesetzt, dass ${\displaystyle \sum _{x\in X(\Omega )}|x|\cdot P(X=x)<\infty }$.

Die Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ nimmt nur zwei Werte an, nämlich ${\displaystyle X(\omega )=5}$ für ${\displaystyle \omega =1}$ und ${\displaystyle X(\omega )=-1}$ für ${\displaystyle \omega =2,3,4,5,6}$. Dabei besteht der Erwartungswert in der obigen Notation nur aus zwei Summanden, da ${\displaystyle X(\Omega )=\{-1,5\}}$.

Möchte man den Erwartungswert analog zur obigen Notation mit 6 Summand definieren:

${\displaystyle E(X)=\sum _{\omega \in \Omega }X(\omega )\cdot P(\{\omega \})=5\cdot {\frac {1}{6}}+\underbrace {(-1)\cdot {\frac {1}{6}}+...+(-1)\cdot {\frac {1}{6}}} _{=(-1)\cdot {\frac {5}{6}}}=0}$

Die Reihe ${\displaystyle \sum _{x}|x|\cdot P(X=x)<\infty }$ hat nur abzählbar viele Elemente ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle P(X=x)\not =0}$. Mit ${\displaystyle \sum _{x}|x|\cdot \underbrace {P(X=x)} _{\geq 0}}$ ist die Reihe in der Definition zum Erwartungswert absolut konvergent. Die Fälle ${\displaystyle E(x)=+\infty }$ und ${\displaystyle E(x)=-\infty }$ werden also ausgeschlossen. In solchen Fällen existiert der Erwartungswert nicht.

Bezeichnet ${\displaystyle p_{\omega }=P(\lbrace \omega \rbrace )}$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion von ${\displaystyle P}$ auf ${\displaystyle \Omega }$, so gilt für eine auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}$ definierte Zufallsvariable ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$:

${\displaystyle E(X)=\sum _{\omega \in \Omega }X(\omega )\cdot p_{\omega }}$

(sofern ${\displaystyle \sum |X(\omega )|\cdot p_{\omega }<\infty }$).

Es ist

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }X(\omega )\cdot p_{\omega }&=&\displaystyle \sum _{x\in X(\Omega )}\sum _{\omega :X(\omega )=x}X(\omega )\cdot p_{\omega }\\&=&\displaystyle \sum _{x\in X(\Omega )}x\sum _{\omega :X(\omega )=x}p_{w}\\&=&\displaystyle \sum _{x\in X(\Omega )}x\cdot P^{X}(\lbrace x\rbrace )\\&=&E(X)\\\end{array}}}$

In den Beweis geht der große Umordnungssatz für konvergente Reihen aus der Analysis ein. Die Anwendung Umordnungssatzes ist möglich, da ${\displaystyle E(|X|)<\infty }$ gilt und damit die Reihe absolut konvergent ist.

Im Fall absoluter Konvergenz der Reihen (Beispiele oben) sagt man:

• ${\displaystyle X}$ besitzt einen Erwartungswert, oder
• der Erwartungswert von ${\displaystyle X}$ existiert.

${\displaystyle X}$ besitzt genau dann einen Erwartungswert, falls ${\displaystyle E|X|=\sum _{w}|X(w)|p_{w}<\infty }$.

Dies ist bei endlichen ${\displaystyle \Omega }$ immer der Fall.

Statt ${\displaystyle E(X)}$ auch ${\displaystyle EX}$ oder ${\displaystyle E_{P}X}$, wenn man kenntlich machen möchte, bzgl. welchem Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ der Erwartungswert berechnet wurde.

Aus dem obigen Satz zum Erwartungswert folgt: ${\displaystyle E(1)=1,E(X)\leq E(Y)}$, falls ${\displaystyle X(w)\leq Y(w)}$ für alle ${\displaystyle w\in \Omega }$ gilt.

Ist ${\displaystyle X(w)=\lbrace w_{1},...,w_{m}\rbrace }$, und ist ${\displaystyle P_{X}}$ die Gleichverteilung auf ${\displaystyle X(\Omega )}$, so lautet der Erwartungswert

${\displaystyle E(X)={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}x_{i}}$ ("arithmetisches Mittel").

(Der Erwartungswert der Augenzahl beim Würfeln ist 3,5.)

Für die Indikatorvariable ${\displaystyle X=1_{A}}$ eines Ereignisses ${\displaystyle A\subset \Omega }$ gilt:

${\displaystyle E(1_{A})=0\cdot P(1_{A}=0)+1\cdot P(1_{A}=1)=P(A)}$

Eine direkte Folgerung aus der Behauptung ist der folgende Satz.

Besitzen die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ Erwartungswerte, so auch die Zufallsvariablen ${\displaystyle aX_{1},bX_{2},a,b\in \mathbb {R} }$, und es gilt:

${\displaystyle E(aX_{1}+bX_{2})=aE(X_{1})+bE(X_{2})}$ ("Linearität")

Für ein ${\displaystyle B(n,p)}$-verteiltes ${\displaystyle X}$ gilt:

${\displaystyle E(X)=np}$

1. ${\displaystyle E(X)=\sum _{k=k}^{n}k{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=...=n\cdot p}$

2. Für die Binominalverteilung gilt ${\displaystyle X=X_{1}+..+X_{n}}$ mit ${\displaystyle EX_{i}=p}$. Dann ist

${\displaystyle E(X)=E(X_{1})+...+E(X_{n})=n\cdot p}$ (wg. Linearität).

Der Erwartungswert von Funktionen ${\displaystyle \phi \circ X}$ einer Zufallsgröße berechnet sich wie folgt.

Ist ${\displaystyle X:\Omega \to \Omega '}$ Zufallsgröße auf ${\displaystyle (\Omega ,P)}$ und ${\displaystyle \phi :\Omega '\to \mathbb {R} }$ eine Abbildung, dann gilt

${\displaystyle E(\phi \circ X)=\sum _{x\in X(\Omega )}\phi (x)P_{X}(\lbrace x\rbrace )}$

(Falls die Reihe absolut konvergiert).

${\displaystyle E_{P}(\phi \circ X)=\sum _{w\in \Omega }\phi (X(w))p_{w}=\sum _{x\in X(w)}\sum _{w:X(w)=x}\phi (X(w))p_{w}}$

${\displaystyle =\sum _{x\in X(w)}\phi (x)\sum _{w:X(w)=x}p_{w}=\sum _{x\in X(w)}\phi (x)P_{X}(\lbrace x\rbrace ).}$

(Großer Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen)

Gemäß der Behauptung gilt z.B.

Mit ${\displaystyle \phi _{1}(x):=x^{2}}$ erhält man ${\displaystyle E(\phi _{1})=\sum _{x}x^{2}P_{X}(\lbrace x\rbrace )}$

Mit ${\displaystyle \phi _{2}(x):=e^{x}}$ erhält man ${\displaystyle E(\phi _{2})=\sum _{x}e^{x}P_{X}(\lbrace x\rbrace )}$

usw.

Die rechte Seite der Behauptung kann man auch als ${\displaystyle E_{P_{X}}(\phi )}$ schreiben.
In der Tat, ${\displaystyle P_{X}(\lbrace x\rbrace )}$ ist Wahrscheinlichkeitsfunktion auf ${\displaystyle \Omega '}$ und ${\displaystyle \phi }$ wird als Zufallsvariable auf ${\displaystyle (\Omega ',P_{X})}$ aufgefasst:

${\displaystyle E_{P}(\phi \circ X)=E_{P_{X}}(\phi )}$

Die Zufallsvariablen ${\displaystyle X,Y}$ mögen unabhängig sein und Erwartungswerte besitzen. Dann besitzt auch ${\displaystyle X\cdot Y}$ einen Erwartungswert und es gilt

${\displaystyle E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)}$

Zur Existenz von ${\displaystyle E(X\cdot Y)}$:

${\displaystyle E(|X\cdot Y|)=\sum _{w\in \Omega }|X(w)\cdot Y(w)|p_{w}}$

${\displaystyle =\sum _{x\in X(\Omega )}\sum _{y\in Y(\Omega )}\sum _{w:X(\omega )=x,Y(\omega )=y}|X(w)\cdot Y(w)|p_{w}}$

${\displaystyle =\sum _{x\in X(\Omega )}\sum _{y\in Y(\Omega )}|x\cdot y|P(X=x,Y=y)}$

${\displaystyle =\sum _{x\in X(\Omega )}|x|\cdot P(X=x)\sum _{y\in Y(\Omega )}|y|\cdot P(Y=y)}$

${\displaystyle =E|X|\cdot E|Y|<\infty }$

(Reihe links oben also absolut konvergent.)

Die gleiche Rechnung wie in (i) ohne Betragsstriche liefert:

${\displaystyle E(X\cdot Y)=\sum _{w\in \Omega }X(w)\cdot Y(w)p_{w}}$

${\displaystyle =...=\sum _{x\in X(\Omega )}x\cdot P(X=x)\sum _{y\in Y(\Omega )}y\cdot P(Y=y)}$

${\displaystyle =E(X)\cdot E(Y)}$

Es wurde angewandt: Doppelreihensatz und Umordnungssatz für Reihen mit nicht negativen Gliedern (in (i)) und für absolut konvergente Reihen (in (ii)).

1. Allgemein gilt für unabhängige Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ mit existierenden Erwartungswerten:

${\displaystyle E(X_{1}\cdot ...\cdot X_{n})=E(X_{1})\cdot ...\cdot E(X_{n})}$

2. Bei fehlender Unabhängigkeit folgt aus ${\displaystyle P|X|<\infty ,P|Y|<\infty }$ nicht notwendigerweise ${\displaystyle P|X\cdot Y|<\infty }$.

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}$ diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, ${\displaystyle X}$ Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert und ${\displaystyle A\subset \Omega }$ mit ${\displaystyle P(A)>0}$. Dann heißt

${\displaystyle E(X|A)=E_{P_{(\cdot |A)}}(X)}$

der bedingte Erwartungswert von ${\displaystyle X}$ unter (der Bedingung) ${\displaystyle A}$.
[ ${\displaystyle P(\cdot |A)}$ ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf ${\displaystyle \Omega }$ unter ${\displaystyle A}$.]

${\displaystyle E(X|A)=\sum _{w\in \Omega }X(w)P(\lbrace w\rbrace |A)=\sum X(w){\frac {P(\lbrace w\rbrace \cap A)}{P(A)}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{P(A)}}\sum _{w\in A}X(w)p_{w}={\frac {1}{P(A)}}\sum _{w\in \Omega }1_{A}(w)X(w)p_{w}={\frac {1}{P(A)}}E(1_{A}X)}$

• Da ${\displaystyle \sum _{\Omega }X(w)p_{w}}$ absolut konvergiert, so auch ${\displaystyle \sum _{A}X(w)p_{w}}$; also existiert ${\displaystyle E(X|A)}$.
  

• Spezialfälle: ${\displaystyle E(1_{A}|A)=1,E(X|\Omega )=E(X)}$
  

• Der hier eingeführte Begriff des bedingten Erwartungswertes spielt eine untergeordnete Rolle. In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie definiert man bedingte Erwartungswerte der Art ${\displaystyle E(X|Y)}$, ${\displaystyle Y}$ Zufallsvariable, welche von großer Wichtigkeit sind (jedoch hier in der Einführung nicht gebraucht werden).

In dem obigen Beispiel wurde der Erwartungswert ${\displaystyle E(X)}$ als Spezialfall von Momenten ${\displaystyle E(X^{k})}$ betrachtet, die im Folgenden definiert werden.

Es sei ${\displaystyle X}$ eine Zufallsvariable und ${\displaystyle k}$ eine natürliche Zahl. Dann bezeichnet man als Moment der Ordnung ${\displaystyle k}$ von ${\displaystyle X}$ oder kürzer als ${\displaystyle k}$-tes Moment von ${\displaystyle X}$ den Erwartungswert der ${\displaystyle k}$‑ten Potenz von ${\displaystyle X}$ (unter der Voraussetzung, dass dieser existiert):

${\displaystyle m_{k}:=\operatorname {E} \left(X^{k}\right),}$

und als ${\displaystyle k}$-tes absolutes Moment von ${\displaystyle X}$ wird der Erwartungswert der ${\displaystyle k}$-ten Potenz des Absolutbetrages ${\displaystyle |X|}$ von ${\displaystyle X}$ bezeichnet:

${\displaystyle M_{k}:=\operatorname {E} \left(\left|X\right|^{k}\right).}$

In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung ${\displaystyle \kappa }$ betrachtet.

Die Existenz von Momenten einer bestimmten Ordnung liefert allgemein Aussagen über die Verteilung der Wahrscheinlichkeitsmasse.

Das erste Moment ist der Erwartungswert. Er wird meist mit ${\displaystyle \mu }$ bezeichnet und kann als Mittelwert angesehen werden.

• Linearität des Erwartungswertes
• Varianz
• Kovarianz
• Erzeugende Funktionen
• Kurs:Stochastik

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