Kurs:Stochastik/Varianz

Der Erwartungswert ${\displaystyle E(X)}$ dient als Maß der zentralen Lage der Verteilung ${\displaystyle P_{X}}$ von ${\displaystyle X}$. Wir definieren ein Streuungs- (Schwankungs-) Maß der Verteilung ${\displaystyle P_{X}}$.

Ist ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ Zufallsvariable auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}$ und ist ${\displaystyle E(X^{2})<\infty }$, so heißt ${\displaystyle Var(X)=E(X-E(X))^{2}=E((X-E(X))^{2})}$ Varianz von ${\displaystyle X}$, und ${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {Var(X)}}}$ Standardabweichung von ${\displaystyle X}$. Zur Existenz der Erwartungswerte siehe obigen Satz i).

i) Falls ${\displaystyle E(X^{2})<\infty }$, so auch ${\displaystyle E(X)<\infty ,E(X-a)^{2}<\infty }$, für alle ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$.

ii) Es gilt ${\displaystyle E(X^{2})=0}$ und ${\displaystyle Var(X)=0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle X=0}$ und ${\displaystyle X=const.}$, ${\displaystyle P}$ fast überall.

i) Wegen ${\displaystyle |x|<1+x^{2}}$ gilt

${\displaystyle \sum _{X}|x|P_{X}(\lbrace x\rbrace )\leq 1+\sum _{X}x^{2}P_{X}(\lbrace x\rbrace )<\infty .}$

Wegen ${\displaystyle (X-a)^{2}\leq 2x^{2}+2a^{2}}$ gilt

${\displaystyle \sum _{X}(X-a)^{2}P_{X}(\lbrace x\rbrace )\leq 2\sum _{X}x^{2}P_{X}(\lbrace x\rbrace )+2a^{2}<\infty .}$

ii) Die Darstellung ${\displaystyle E(X^{2})=\sum _{w}X^{2}(w)p_{w}=0}$, bzw. Formel 2 zur Varianz.

• Führen Sie den Beweis für stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen!
• Betrachten Sie die Cauchy-Verteilung und begründen Sie, warum die Varianz der Cauchy-Verteilung nicht existiert.

• ${\displaystyle Var(X)=\sum _{x\in X(\Omega )}((x-E(X))^{2})P_{x}(\lbrace x\rbrace )}$
• ${\displaystyle Var(X)=\sum _{w\in \Omega }((X(w)-E(X))^{2})p_{w}}$
• ${\displaystyle Var(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}}$

denn: ${\displaystyle Var(X)=E(X^{2}-2X\cdot E(X)+E(X^{2}))=E(X^{2})-(E(X))^{2}}$

(allgemein: ${\displaystyle E(X-a)^{2}=Var(X)+(E(X)-a)^{2},a=0}$ liefert die untere Gleichung.)

${\displaystyle Var(aX+b)=a^{2}Var(X)}$ für ${\displaystyle a,b\in P,\sigma (aX+b)=(a(\sigma (X)))}$

1. Denkt man sich ${\displaystyle P_{X}\lbrace X\rbrace }$ als eine Massenverteilung (Gesamtmasse =1), so entspricht ${\displaystyle E(X)}$ dem Schwerpunkt und ${\displaystyle Var(X)}$ dem Trägheitsmoment.

2. Ist ${\displaystyle X}$ eine Zufallsvariable mit ${\displaystyle E(X^{2})<\infty }$, so gilt für die sogenannte Standardisierte von ${\displaystyle X}$, d.i. ${\displaystyle X^{*}={\frac {X-E(X)}{\sigma (X)}}}$, ${\displaystyle E(X^{*})=0,Var(X^{*})=1=\sigma (X^{*})}$.

${\displaystyle X:\Omega \to \Omega '=\lbrace 1,...,n\rbrace ,P_{X}}$ Gleichverteilung auf ${\displaystyle \Omega '}$. Dann ist:

${\displaystyle E(X)={\frac {1}{2}}(n+1)}$

${\displaystyle E(X^{2})={\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {1}{6}}(n+1)(2n+1)}$

${\displaystyle Var(X){\frac {1}{6}}(n+1)(2n+1)-{\frac {1}{4}}n(+1)^{2}={\frac {1}{12}}(n^{2}-1)}$

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