Kurs:Stochastik/Kovarianz

Betrachtet man nun verschiedene Zufallsvariablen, so bilden nach der Betrachtung der Verteilungsparameter einzelner Zufallsgrößen nun Maße für den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$.

Für Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}$ mit ${\displaystyle E(X^{2})<\infty ,E(Y^{2})<\infty }$ definiert

${\displaystyle Cov(X,Y)=E{\big (}(X-E(X))\cdot (Y-E(Y)){\big )}}$

die Kovarianz von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$

Für Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}$ mit ${\displaystyle E(X^{2})<\infty ,E(Y^{2})<\infty }$ definiert

${\displaystyle \rho (X,Y)={\frac {Cov(X,Y)}{\sigma (X)\cdot \sigma (Y)}}\quad {\text{mit }}\rho (X,Y)\in [-1,1]}$

(sofern ${\displaystyle \sigma (X)\cdot \sigma (Y)>0}$) den Korrelationskoeffizienten (nach Pearson) von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$, welcher angibt, ob ein positiver/negativer linearer Zusammehang zwischen den ZV existiert.

Zwei Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}$ mit ${\displaystyle E(X^{2})<\infty ,E(Y^{2})<\infty }$ heißen unkorreliert, falls ${\displaystyle Cov(X,Y)=0}$.

Zum Studium der Größen ${\displaystyle Cov}$ und ${\displaystyle \rho }$ benötien wir den folgenden Satz.

Für die Zufallsvariablen ${\displaystyle X,Y}$ mit ${\displaystyle E(X^{2})<\infty ,E(Y^{2})<\infty }$ gilt:

i) ${\displaystyle E|X\cdot Y|<\infty }$

ii) Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung:

${\displaystyle (E(X\cdot Y))^{2}\leq E(X^{2})\cdot E(Y^{2})}$

iii) Das Gleichheitszeichen in ii) gilt genau dann, wenn es Zahlen ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ gibt mit ${\displaystyle a^{2}+b^{2}>0}$ und

${\displaystyle a\cdot X(w)+b\cdot Y(w)=0}$ (${\displaystyle P}$ fast überall lin. abh.).

1. Aus der Ungleichung ${\displaystyle 2|x\cdot y|\leq x^{2}+y^{2}}$ folgt ${\displaystyle E(|X\cdot Y|)<\infty }$, d.i. i).

2. Sei ${\displaystyle E(X^{2})=0}$. Dann ist nach 2.2 i) ${\displaystyle X(w)=0}$ für alle ${\displaystyle w}$ mit ${\displaystyle p_{w}>0}$ und es gilt ${\displaystyle E(X\cdot Y)=0}$ und das Gleichheitszeichen in der Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung. Ferner ist die Gleichung erfüllt (mit ${\displaystyle a=1,b=0}$).

3. Sei ${\displaystyle E(X^{2})>0}$. Zunächst gilt für ein beliebiges ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$:

(*) ${\displaystyle 0\leq E(cX-Y)^{2}=c^{2}E(X^{2})-2cE(X\cdot Y)+E(Y^{2})}$

Einsetzten von ${\displaystyle c={\frac {E(X\cdot Y)}{E(X^{2})}}}$ liefert:

${\displaystyle 0\leq {\frac {(E(X\cdot Y))^{2}}{E(X^{2})}}-2{\frac {(E(X\cdot Y))^{2}}{E(X^{2})}}+E(Y^{2})}$

oder

${\displaystyle 0\leq E(Y^{2})-{\frac {(E(X\cdot Y))^{2}}{E(X^{2})}},}$ d.h. die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Hier gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn es in (*) gilt, d. h. wenn glt:

(**) ${\displaystyle E(cX-Y)^{2}=0}$

Aus (**) folgt über ii) die Gleichung aus iii) mit ${\displaystyle a=c,b=-1}$. Umgekehrt folgt auch aus iii) die Gleichung (**).

1. Aus

(+) ${\displaystyle E(X^{2})<\infty ,E(Y^{2})<\infty }$

folgt also die Existenz des Erwartungswertes von ${\displaystyle X\cdot Y}$: ${\displaystyle E(X\cdot Y)<\infty }$.

Im Fall der Unabhängigkeit der ${\displaystyle X,Y}$ benötigen wir in 1.5 anstatt (+) nur ${\displaystyle E|X|<\infty ,E|Y|<\infty }$.

Aus (+) folgt die Existenz der Kovarianz (${\displaystyle Cov(X,Y)}$). In der Tat, in der Formel

(++) ${\displaystyle Cov(X,Y)=E[X\cdot Y-Y\cdot E(X)-X(E(Y)+E(X)\cdot E(Y)]}$

existieren gemäß 2.2 i) und i) sämtliche Erwartungswerte.

2. Formel (++) vereinfacht sich zur "Verschiebungsformel":

${\displaystyle Cov(X,Y)=E(X\cdot Y)-E(X)\cdot E(Y)}$

3. Setzt man in die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ${\displaystyle X-E(X),Y-E(Y)}$ ein (anstatt ${\displaystyle X,Y}$), so erhält man

${\displaystyle (Cov(X,Y))^{2}\leq \sigma ^{2}(X)\cdot \sigma ^{2}(Y)}$

d.h. es gilt ${\displaystyle -1\leq \rho (X,Y)\leq 1}$.

4. ${\displaystyle |\rho (X,Y)|=1}$ genau dann, wenn

${\displaystyle Y(w)-E(Y)=c(X(w)-E(X))}$

für alle ${\displaystyle w}$ mit ${\displaystyle p_{w}>0}$.

Interpretation: ${\displaystyle \rho (X,Y)}$ ist ein Maß für den linearen Zusammenhang von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$.

Sei ${\displaystyle E(X^{2})<\infty ,E(Y^{2})<\infty }$ vorausgesetzt.

a) ${\displaystyle Cov(aX+b,a'Y+b')=a\cdot a'Cov(X,Y)}$

Insbesondere:

${\displaystyle Cov(X^{*},Y^{*})=\rho (X^{*},Y^{*})=\rho (X,Y)}$

für ${\displaystyle X^{*}=(X-E(X))/\sigma (X)}$, ${\displaystyle Y^{*}=(Y-E(Y))/\sigma (Y).}$

b) ${\displaystyle Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)=Var(X)}$

c) ${\displaystyle Var(X_{1}+...+X_{n})=\sum _{i=1}^{n}Var(X_{i})+\sum _{i\neq j}Cov(X_{i},X_{j})}$

Insbesondere gilt für paarweise unkorrelierte (d.h. ${\displaystyle Cov(X_{i},X_{j})=0}$, für ${\displaystyle i\neq j}$) ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ die "Formel von Bienaymé":

${\displaystyle Var(X_{1}+...+X_{n})=\sum _{i=1}^{n}Var(X_{i})}$

d) ${\displaystyle X,Y}$ unabhängig ${\displaystyle \Rightarrow X,Y}$ unkorreliert.

Zu c): Wegen der letzten Formel im Abschnitt "Formeln zur Varianz von X" und a) können wir annehmen, dass ${\displaystyle E(X_{i})=0}$. Dann gilt:

${\displaystyle Var(X_{1}+...X_{n})=E(X_{1}+...+X_{n})^{2}=E(\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}+\sum _{i\neq j}X_{i}\cdot X_{j})}$

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}E(X_{i}^{2})+\sum _{i\neq j}E(X_{i}\cdot X_{j})}$

Zu d): ${\displaystyle X,Y}$ unabhängig ${\displaystyle \Rightarrow E(X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)\Rightarrow Cov(X,Y)=0}$ (Verschiebungsformel).

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