Kurs:Stochastik/Siebformel

Für paarweise disjunkte Mengen ${\displaystyle A_{n}}$ liefern die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle P}$ eine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit von ${\displaystyle P\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)}$ additiv über die Einzelnwahrscheinlichkeiten zu berechnen - siehe (P3).

${\displaystyle P\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }P\left(A_{n}\right)}$

Möchte man allerdings die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung von Mengen berechnen, so gilt im Allgemeinen:

${\displaystyle P\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }P\left(A_{n}\right)}$

Die Ungleichung entsteht dadurch, dass auf der rechten Ungleichungsseite in der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten Schnittmengen mehrfach berücksichtigt werden.

Beweisen Sie die Ungleichung

${\displaystyle P\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }P\left(A_{n}\right)}$

mit den Axionen des Wahrscheinlichkeitsmaßes. Stellen Sie dazu ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$ als Vereinigung disjunkter Ereignisse ${\displaystyle B_{n}}$ mit ${\displaystyle B_{1}:=A_{1}}$ und ${\displaystyle B_{n}:=A_{n}\cap \left(\bigcup _{k=1}^{n-1}A_{k}\right)^{c}}$ mit ${\displaystyle n>1}$ dar und nutzen Sie die Ungleichung ${\displaystyle P(A)\leq P(B)}$ für ${\displaystyle A\subseteq B}$.

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle m\geq 2}$ beliebig gewählt. Wenn für alle ${\displaystyle n\in \{1,\ldots m\}}$ auch ${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {S}}}$ erfüllt ist, dann kann man die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung wie folgt berechnen:

${\displaystyle P\left(\bigcup _{n=1}^{m}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{m}(-1)^{n+1}\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,m\}\wedge |J|=n}P\left(\bigcap _{j\in J}A_{j}\right)}$.

Der Beweis erfolgt über vollständige Induktion über ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle m\geq 2}$.

Sei ${\displaystyle m=2}$ dann gilt wegen ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}\setminus A_{1}}$ disjunkt die folgende Gleichungskette:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}P\left(\displaystyle \bigcup _{n=1}^{2}A_{n}\right)&=&P\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\\&=&P\left(A_{1}\cup (A_{2}\setminus A_{1})\right)=P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\setminus A_{1}\right)\\&=&P\left(A_{1}\right)+\underbrace {P\left(A_{2}\setminus (A_{1}\cap A_{2})\right)} _{=P(A_{2})-P(A_{1}\cap A_{2})}\\&=&P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)-P\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\end{array}}}$.

Die letzte Gleichung kann man in die Summennotation der Siebformel wie folgt überführen:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)&=&\underbrace {(-1)^{1+1}} _{=1}\cdot \underbrace {\displaystyle \sum _{J_{1}\subseteq \{1,2\}\wedge |J_{1}|=1}P\left(\bigcap _{j\in J_{1}}A_{j}\right)} _{=P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)}\\-P\left(A_{1}\cap A_{2}\right)&=&+\underbrace {(-1)^{2+1}} _{=-1}\cdot \underbrace {\displaystyle \sum _{J_{2}\subseteq \{1,2\}\wedge |J_{1}|=2}P\left(\bigcap _{j\in J_{2}}A_{j}\right)} _{=P\left(A_{1}\cap A_{2}\right)}\\\Rightarrow \,P(A_{1}\cup A_{2})&=&\displaystyle \sum _{n=1}^{2}(-1)^{n+1}\sum _{J\subseteq \{1,2\}\wedge |J|=n}P\left(\bigcap _{j\in J}A_{j}\right)\end{array}}}$.

Die Siebformel gilt für ein festes ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle m\geq 2}$:

${\displaystyle P\left(\bigcup _{n=1}^{m}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{m}(-1)^{n+1}\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,m\}\wedge |J|=n}P\left(\bigcap _{j\in J}A_{j}\right)}$.

Die Siebformel gilt für auch ${\displaystyle m+1\in \mathbb {N} }$:

${\displaystyle P\left(\bigcup _{n=1}^{m+1}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{m+1}(-1)^{n+1}\sum _{J\subseteq \{1,\ldots ,m,m+1\}\wedge |J|=n}P\left(\bigcap _{j\in J}A_{j}\right)}$.

Man verwendet den Induktionsanfang mit :${\displaystyle P({\widetilde {A_{1}}}\cup {\widetilde {A_{2}}})=P({\widetilde {A_{1}}})+P({\widetilde {A_{2}}})-P({\widetilde {A_{1}}}\cap {\widetilde {A_{2}}})}$ ebenfalls in der Induktionsbehauptung, wobei ${\displaystyle {\widetilde {A_{1}}}:=\bigcup _{n=1}^{m}A_{n}}$ und ${\displaystyle {\widetilde {A_{2}}}:=A_{m+1}}$ gewählt wird.

Man zerlegt die Vereinigung bis ${\displaystyle m+1}$ in eine Vereinigung bis ${\displaystyle m}$ vereinigt mit der ${\displaystyle m+1}$-ten Menge ${\displaystyle A_{m+1}}$, um auf ${\displaystyle {\widetilde {A_{1}}}}$ die Induktionsanfang für die Vereinigung von 2 Mengen anzuwenden.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle P\left(\bigcup _{n=1}^{m+1}A_{n}\right)&=&P{\bigg (}\underbrace {\displaystyle {\bigg (}\bigcup _{n=1}^{m}A_{n}{\bigg )}} _{={\widetilde {A_{1}}}}\cup \underbrace {A_{m+1}} _{={\widetilde {A_{2}}}}{\bigg )}\\&=&P\left({\widetilde {A_{1}}}\right)+P\left({\widetilde {A_{2}}}\right)-P\left({\widetilde {A_{1}}}\cap {\widetilde {A_{2}}}\right)\\\end{array}}}$

In Induktionsschritt 1 kann man nun die Induktionsvoraussetzung

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}P({\widetilde {A_{1}}})&=&\displaystyle P\left(\bigcup _{n=1}^{m}A_{n}\right)\\&=&\displaystyle \sum _{n=1}^{m}(-1)^{n+1}\sum _{J_{n}\subseteq \{1,\ldots ,m\}\wedge |J_{n}|=n}P\left(\bigcap _{j\in J_{n}}A_{j}\right)\end{array}}}$

Man schreibt nun nach Anwendung der Induktionsvoraussetzung die Ersetzung von ${\displaystyle P\left({\widetilde {A_{1}}}\right)}$ durch die Induktionsvoraussetzung etwas um:

${\displaystyle \displaystyle \underbrace {\sum _{n=1}^{m}(-1)^{n+1}\sum _{J_{n}\subseteq \{1,\ldots ,m\}\wedge |J_{n}|=n}P\left(\bigcap _{j\in J_{n}}A_{j}\right)} _{=P\left({\widetilde {A_{1}}}\right)=P\left(\bigcup _{n=1}^{m}A_{n}\right)}=\sum _{n=1}^{m}(-1)^{n+1}\sum _{\begin{array}{c}J_{n}\subseteq \{1,\ldots ,m,m+1\}\\\wedge |J_{n}|=n\ \wedge \ m+1\notin J_{n}\end{array}}P\left(\bigcap _{j\in J_{n}}A_{j}\right)}$

Man ersetzt nun aus Induktionsschritt 1 den letzten Summanden ${\displaystyle P\left({\widetilde {A_{1}}}\cap {\widetilde {A_{2}}}\right)}$ und wendet erneut die Induktionsvoraussetzung auf ${\displaystyle m}$ Vereinigungen an.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle -P\left({\widetilde {A_{1}}}\cap {\widetilde {A_{2}}}\right)&=&\displaystyle -P\left(\left(\bigcup _{n=1}^{m}A_{n}\right)\cap A_{m+1}\right)=P\left(\bigcup _{n=1}^{m}\left(A_{n}\cap A_{m+1}\right)\right)\\&=&\displaystyle -\sum _{n=1}^{m}(-1)^{n+1}\sum _{J_{n}\subseteq \{1,\ldots ,m\}\wedge |J_{n}|=n}P\left(\bigcap _{j\in J_{n}}(A_{j}\cap A_{m+1}\right)\\&=&\displaystyle \sum _{n=1}^{m}(-1)^{n+2}\sum _{\begin{array}{c}J_{n+1}\subseteq \{1,\ldots ,m,m+1\}\\\wedge |J_{n+1}|=n+1\ \wedge \ m+1\in J_{n+1}\end{array}}P\left(\bigcap _{j\in J_{n+1}}A_{j}\right)\\&=&\displaystyle \sum _{n=2}^{m+1}(-1)^{n+1}\sum _{\begin{array}{c}J_{n}\subseteq \{1,\ldots ,m,m+1\}\\\wedge |J_{n}|=n\ \wedge \ m+1\in J_{n}\end{array}}P\left(\bigcap _{j\in J_{n+1}}A_{j}\right)\\\end{array}}}$

Für ${\displaystyle n=1}$ schreibt man nun ${\displaystyle P\left({\widetilde {A_{2}}}\right)=P\left(A_{m+1}\right)}$ als Summe um, die de facto nur aus einem Summanden besteht:

${\displaystyle P\left({\widetilde {A_{2}}}\right)=P\left(A_{m+1}\right)=\underbrace {(-1)^{1+1}} _{=1}\sum _{\begin{array}{c}J_{1}\subseteq \{1,\ldots ,m+1\}\\\wedge |J_{1}|=n\ \wedge \ m+1\in J_{1}\end{array}}P\left(\bigcap _{j\in J_{1}}A_{j}\right)}$

Die Summe besteht nur aus einem Summanden, da ${\displaystyle J_{1}}$ eine einelementige Menge ist, die dann auch noch ${\displaystyle m+1}$ enthalten muss. Für ${\displaystyle J_{1}=\{m+1\}}$ gibt es daher nur diese Möglichkeit.

Das Umschreiben dient aus Induktionsschritt 4 dient dazu, den Term ${\displaystyle P\left({\widetilde {A_{2}}}\right)-P\left({\widetilde {A_{1}}}\cap {\widetilde {A_{2}}}\right)}$ wie folgt darzustellen.

${\displaystyle P\left({\widetilde {A_{2}}}\right)-P\left({\widetilde {A_{1}}}\cap {\widetilde {A_{2}}}\right)=\sum _{n=1}^{m+1}(-1)^{n+1}\sum _{\begin{array}{c}J_{n}\subseteq \{1,\ldots ,m,m+1\}\\\wedge |J_{n}|=n\ \wedge \ m+1\in J_{n}\end{array}}P\left(\bigcap _{j\in J_{n+1}}A_{j}\right)}$

Man formt nun noch den Term ${\displaystyle P\left({\widetilde {A_{1}}}\right)=P\left(\bigcup _{n=1}^{m}A_{n}\right)}$ aus Induktionsschritt 1 um:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle P\left({\widetilde {A_{1}}}\right)&=&\displaystyle P\left(\bigcup _{n=1}^{m}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{m}(-1)^{n+1}\sum _{J_{n}\subseteq \{1,\ldots ,m\}\wedge |J_{n}|=n}P\left(\bigcap _{j\in J_{n}}A_{j}\right)\\&=&\displaystyle \sum _{n=1}^{m+1}(-1)^{n+1}\sum _{\begin{array}{c}J_{n}\subseteq \{1,\ldots ,m,m+1\}\\\wedge |J_{n}|=n\ \wedge \ m+1\notin J_{n}\end{array}}P\left(\bigcap _{j\in J_{n+1}}A_{j}\right)\end{array}}}$

Die Erhöhung des Indexschranke von ${\displaystyle m}$ auf ${\displaystyle m+1}$ führt nicht zu weiteren Summanden, da es keine ${\displaystyle m+1}$-elementige Teilmenge von ${\displaystyle J_{m+1}\subseteq \{1,\ldots ,m,m+1\}}$ gibt, die ${\displaystyle m+1}$ nicht enthält. Daher gilt die letzte Gleichung.

Der Induktionsschritt 6 zusammen mit Induktionsschritt 5 eingesetzt in Induktionsschritt 1 die Induktionsbehauptung.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle P\left(\bigcup _{n=1}^{m+1}A_{n}\right)&=&\displaystyle \sum _{n=1}^{m+1}(-1)^{n+1}\sum _{\begin{array}{c}J_{n}\subseteq \{1,\ldots ,m,m+1\}\ \wedge \ |J_{n}|=n\end{array}}P\left(\bigcap _{j\in J_{n+1}}A_{j}\right)\end{array}}}$

Dabei wurden die Fälle ${\displaystyle m+1\in J_{n}}$ und ${\displaystyle m+1\notin J_{n}}$ zusammengefasst.${\displaystyle \qquad \qquad \Box }$.

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