Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung

Zielsetzung einer Algebraerweiterung ${\displaystyle (B,{\mathcal {T}}_{B})}$ zu einer gegebenen topologischen Algebra ${\displaystyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ mit ${\displaystyle z\in A}$ ist es, die topologisch Algebra so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element ${\displaystyle z^{-1}:=b\in B}$ enthält. Das folgenden Diagramm veranschaulicht den Sachverhalt:

Algebraerweiterung ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle A}$, die ein inverses Element ${\displaystyle b=z^{-1}\in B}$ zu einem gegebenen ${\displaystyle z\in A}$ enthält.

Untersuchen Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede bzgl. Algebraerweiterungen in der Funktionalanalysis und den Zahlbereichserweiterungen im Kontext der Schule.

In der Primarstufe können in dem Zahlbereich der natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ Aufgaben formuliert werden, die aber in ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ nicht lösbar sind. Daraus ergibt sich eine Zahlbereichserweiterung wie folgt:

• (${\displaystyle \mathbb {N} \mapsto \mathbb {Z} }$) Aufgabe ${\displaystyle 6+\Box =4}$ (bzw. ${\displaystyle 6+x=4}$) in ${\displaystyle \mathbb {N} }$ formuliert aber in ${\displaystyle \mathbb {N} }$ nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
• (${\displaystyle \mathbb {N} \mapsto \mathbb {Q} }$) Aufgabe ${\displaystyle 6\cdot \Box =4}$ (bzw. ${\displaystyle 6\cdot x=4}$) in ${\displaystyle \mathbb {N} }$ formuliert aber in ${\displaystyle \mathbb {N} }$ nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• (${\displaystyle \mathbb {N} \mapsto \mathbb {Q} }$) Zu diesem unlösbaren Aufgabentyp gehören auch die multiplikativen Inversen, z.B. ${\displaystyle 5\cdot \Box =1}$.

Die unlösbaren Aufgaben ergeben sich aus quadratischen Gleichungen

• (${\displaystyle \mathbb {Q} \mapsto \mathbb {R} }$) Aufgabe ${\displaystyle x^{2}=2}$ in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ formuliert aber in ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• (${\displaystyle \mathbb {R} \mapsto \mathbb {C} }$) Aufgabe ${\displaystyle x^{2}=-1}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ formuliert aber in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nicht lösbar. Zahlbereichserweiterung auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (siehe auch komplexe Zahlen).

Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen den Zahlbereichserweiterungen in der Schule und den Algebraerweiterungen und der Untersuchung von topologischen Invertierbarkeitskriterien?

Seien ${\displaystyle (A,\oplus _{_{A}},\odot _{_{A}},\cdot _{_{A}},\mathbb {K} )}$ und ${\displaystyle (B,\oplus _{_{B}},\odot _{_{B}},\cdot _{_{B}},\mathbb {K} )}$ zwei Algebren über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ und ${\displaystyle \tau :A\to B}$ eine Abbildung von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$. ${\displaystyle \tau :A\to B}$ heißt Algebrahomomorphismus die ${\displaystyle \tau }$ verträglich mit den Verknüpfungen auf der Algebra ist, d.h.:

• (AH1) Für alle ${\displaystyle x\in A}$, ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ gilt: ${\displaystyle \tau (\lambda \cdot _{_{A}}x)=\lambda \cdot _{_{B}}\tau (x)}$
• (AH2) Für alle ${\displaystyle x,y\in A}$ gilt: ${\displaystyle \tau (x\oplus _{_{A}}y)=\tau (x)\oplus _{_{B}}\tau (y)}$
• (AH3) Für alle Für alle ${\displaystyle x,y\in A}$ gilt: ${\displaystyle \tau (x\odot _{_{A}}y)=\tau (x)\odot _{_{B}}\tau (y)}$

Wenn der Algebrahomomorphismus zusätzlich bijektiv ist, nennt man ${\displaystyle \tau }$ Algebraisomorphismus.

Der Index bei den inneren Verknüpfungen bezeichnet die Algebren, auf denen die inneren Verknüpfungen definiert sind. In der Regel werden die Bezeichnungen bei Algebraerweiterung durch Notation nicht unterschieden.

Sei ${\textstyle {\mathcal {K}}_{e}}$ eine Klasse von unitalen Algebren und ${\textstyle A\in {\mathcal {K}}_{e}}$, dann heißt ${\textstyle B\in {\mathcal {K}}_{e}}$ Algebraerweiterung, Oberalgebra oder ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Erweiterung von ${\textstyle A}$, falls es einen Algebraisomorphismus ${\textstyle \tau :A\longrightarrow A'\subset B}$ gibt mit:

• ${\textstyle \tau (e_{_{A}})=e_{_{B}}}$, wobei ${\textstyle e_{_{A}}}$ ist das Einselement von ${\textstyle A}$ und ${\textstyle e_{_{B}}\in A'}$ das Einselement von ${\textstyle B}$ ist.
• ${\textstyle A}$ ist homöomorph zu ${\textstyle A'}$; d.h. ${\textstyle \tau }$ und ${\textstyle \tau ^{-1}:A'\longrightarrow A}$ sind stetig.

Eine topologische Algebra ${\textstyle A\in {\mathcal {K}}_{e}}$ der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$ heißt unital, wenn ${\displaystyle A}$ ein Einselement der Multiplikation besitzt. Der Begriff kommt von "unit" als "Einheit" bzw. "Einselement".

• Im allgemeinen identifiziert man ${\textstyle A}$ mit ${\textstyle A'\subset B}$ und schreibt ${\textstyle A\subset B}$.
• Sei ${\textstyle {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}$ eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von ${\textstyle B}$ auf ${\textstyle A'}$ und ${\textstyle {\mathfrak {U}}_{A}(0)}$ eine Nullumgebungsbasis von ${\textstyle A}$, dann kann man die Homöomorphie zwischen ${\textstyle A}$ und ${\textstyle A'}$ wie folgt beschreiben:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}\exists _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}&:&U\subset V\,(\tau (U)\subset V)\\\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}&:&V\subset U\,(\tau ^{-1}(V)\subset U).\end{array}}}$

Betrachtet man die Minkowskifunktionale ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{{\mathfrak {U}}_{A'}}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{{\mathfrak {U}}_{A}}}$ für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}\exists _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}&:&\left\|\cdot \right\|_{V}\leq \left\|\cdot \right\|_{U}\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{V}\circ \tau \leq \left\|\cdot \right\|_{U}\\\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}&:&\left\|\cdot \right\|_{U}\leq \left\|\cdot \right\|_{V}\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{U}\circ \tau ^{-1}\leq \left\|\cdot \right\|_{V}.\end{array}}}$

Falls in einem topologieerzeugenden System von Minkowskifunktionalen ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ nicht mit jedem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ auch ${\textstyle \lambda \cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ in dem System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ liegt, treten in der Ungleichung jeweils von ${\textstyle U}$ bzw. ${\textstyle V}$ abhängige Konstanten auf.

Sei ${\textstyle A}$ eine Algebra, auf der zwei topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ bzw. ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ definiert sind. Die beiden Gaugefunktionalsystem heißen äquivalent, wenn für diese gilt:

$${\displaystyle \forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}\,\exists _{\displaystyle \beta \in {\widetilde {\mathcal {A}}},C_{\beta }>0}\forall _{\displaystyle x\in A}:\left\|x\right\|_{\alpha }\leq C_{\alpha }\cdot \left\|\!\left|x\right|\!\right\|_{\beta }}$$

und umgekehrt

$${\displaystyle \forall _{\displaystyle \beta \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}},C_{\alpha }>0}\forall _{\displaystyle x\in A}:\left\|\!\left|x\right\|\!\right|_{\beta }\leq C_{\beta }\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }.}$$

• Die erste Bedingung in der obigen Definition liefert, dass ein Netz ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$, das bzgl. ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ konvergiert auch in der von ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ erzeugten Topologie konvergiert.
• Die zweite Bedingung liefert umgekehrt, dass ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ bzgl. ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ konvergiert, wenn das Netz auch bzgl. ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ konvergiert.

Sei ${\textstyle B}$ eine ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-Algebraerweiterung von ${\textstyle A\in {\mathcal {T}}}$ mit den topologieerzeugenden Systemen von Gaugefunktionalen ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ auf ${\textstyle A}$ bzw. ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ auf ${\textstyle B}$. Die Algebraerweiterung nennt isometrisch, falls gilt:

$${\displaystyle \forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}\,\exists _{\displaystyle \beta \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\forall _{\displaystyle x\in A}:\left\|x\right\|_{\alpha }=\left\|\!\left|x\right|\!\right\|_{\beta }}$$

und umgekehrt

$${\displaystyle \forall _{\displaystyle \beta \in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}\forall _{\displaystyle x\in A}:\left\|\!\left|x\right|\!\right\|_{\alpha }=\left\|x\right\|_{\beta }.}$$

Sei ${\textstyle {\mathcal {K}}_{e}}$ eine Klasse topologischer Algebren mit Einselement und ${\textstyle A\in {\mathcal {K}}_{e}}$ eine Algebra. Ein Element ${\textstyle x}$ der Algebra ${\textstyle A}$ heißt ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-regulär (Bezeichnung: ${\textstyle x\in {\mathcal {G}}_{\mathcal {K}}(A)}$), falls es eine ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Erweiterung ${\textstyle B}$ von ${\textstyle A}$ gibt, in der ${\textstyle x}$ invertierbar ist. Falls dies nicht möglich ist, heißt ${\textstyle x}$ ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-singulär oder permanent singulär in jeder ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Erweiterung von ${\textstyle A}$.

Bei der Konstruktion der Algebraerweiterung ist es für einige Algebrenklassen notwendig, die Erweiterung auf die Algebra der Polynome ${\displaystyle A[t]}$ zu betrachten. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung ${\displaystyle B}$ konstruiert wird.

Jedes reguläre Element ${\displaystyle z\in A}$ ist zugleich auch ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$-regulär, da reguläre Elemente bereits in der Algebra ${\displaystyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ selbst invertierbar sind, ${\displaystyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ in natürlicher Weise eine Algebraerweiterung von sich darstellt, in der das inverse Element ${\displaystyle z^{-1}\in B:=A}$ existiert. Daher gilt ${\textstyle {\mathcal {G}}(A)\subset {\mathcal {G}}_{\mathcal {K}}(A)}$.

Die ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Singularität besitzt Absolutcharakter, falls aus ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Singularität ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-Singularität folgt.

Die Aufgaben beziehen sich auf die topologieerzeugenden Gaugefunktionalsysteme und die Äquivalenz dieser Systeme. Diese Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme wird für die Einbettung der Algebraerweiterung von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle B}$ benötigt, damit man die Stetigkeit der Einbettung ${\displaystyle \tau }$ und der Umkehrabbildung ${\displaystyle \tau ^{-1}}$ nachweisen kann.

Betrachten Sie den Satz von Hahn-Banach und die Erweiterung von linearen Funktionalen ${\displaystyle f}$ von einem Unterrraum ${\displaystyle U\subset V}$ auf den gesamten Vektorraum ${\displaystyle V}$.

• Welche topologischen Gemeinsamkeiten und Unterschiede sehen Sie bei der Erweitung von linearen Funktionalen (Hahn-Banach) und der Algebraerweiterung?
• Wie kann man aus einem linearen Funktional ${\displaystyle f}$ ein Halbnorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{f}}$ auf ${\displaystyle U\subset V}$ erzeugen und mit der Erweiterung von ${\displaystyle F}$ auf ${\displaystyle V}$ eine Halbnorm auf ${\displaystyle V}$?

Sei ${\textstyle A}$ eine Algebra, auf der zwei topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ bzw. ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ definiert sind. Ferner sei ein Netz in gegeben.

• Notieren Sie dazu zunächst die Konvergenz bzgl. der topologieerzeugende Systeme von Gaugefunktionalen ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ formal.
• Zeigen Sie, dass in einer Algebra ${\displaystyle A}$ ein Netz genau der dann in ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ konvergiert, wenn es auch bzgl. ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ konvergiert.

Sei ${\displaystyle (A,\|\cdot \|)}$ die nicht-kommunitive Algebra der 2x2-Matrizen über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit der euklidischen Norm:

${\displaystyle \|M\|=\left\|\,{\begin{pmatrix}m_{1}&m_{2}\\m_{3}&m_{4}\\\end{pmatrix}}\,\right\|:={\sqrt {\sum _{k=1}^{4}m_{k}^{2}}}}$

Erzeugen Sie eine Polynomalgebra mit Koeffizienten in ${\displaystyle A}$ und topologisieren Sie den Raum ${\displaystyle A[t]}$ ebenfalls mit einer Norm.

Betten Sie ${\displaystyle (A,\|\cdot \|)}$ in den Raum ${\displaystyle (B,\|\cdot \|_{B})}$ der 3x3-Matrizen über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ein.

${\displaystyle \|N\|_{B}=\left\|\,{\begin{pmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\\n_{4}&n_{5}&n_{6}\\n_{7}&n_{8}&n_{9}\\\end{pmatrix}}\,\right\|_{B}:={\sqrt {\sum _{k=1}^{9}n_{k}^{2}}}{\mbox{ mit }}\tau (M):={\begin{pmatrix}m_{1}&m_{2}&0\\m_{3}&m_{4}&0\\0&0&{\frac {m_{1}+m_{4}}{2}}\\\end{pmatrix}}\in B}$

Ist über die mit ${\displaystyle \tau }$ definierte Abbildung eine Algebraerweiterung definiert worden? Überprüfen Sie die Eigenschaften!

• Zeigen Sie, dass ${\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}$ bijektiv ${\displaystyle (A,\|\cdot \|)}$ nach ${\displaystyle (A',\|\cdot \|_{B})}$ ist.
• Verwenden Sie den Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen, um die Stetigkeit von ${\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}$ und ${\displaystyle \tau ^{-1}:A'\to A}$ nachzuweisen.
• Können Sie ein Element in der ursprünglichen Algebra ${\displaystyle (A,\|\cdot \|)}$ der ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen angeben, das in ${\displaystyle A}$ nicht invertierbar ist, aber bei dem Sie in ein inverses Element aus ${\displaystyle B}$ nach der Einbettung angeben können? (Hinweis: Sind nicht-invertierbare Matrizen Nullteiler in ${\displaystyle A}$?)

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• Stetigkeitssequenzen
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