Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra

Ein topologischer Vektorraum ${\textstyle V}$ über ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ist ein Vektorraum über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$, der eine Topologie besitzt, mit der die skalare Multiplikation und die Addition stetige Abbildungen sind.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\cdot :\mathbb {K} \times V&\longrightarrow &V\quad (\lambda ,v)\longmapsto \lambda \cdot v\\+:V\times V&\longrightarrow &V\quad (v,w)\longmapsto v+w\end{array}}}$

Im Folgenden soll für alle topologischen Vektorräume die Hausdorffeigenschaft vorausgesetzt sein.

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum mit einer Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ als System von offenen Mengen ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subset \wp (X)}$ und ${\displaystyle a\in X}$, dann bezeichnet

• ${\displaystyle {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a):=\left\{U\subseteq X\,:\,\exists _{U_{o}\in {\mathcal {T}}}:\,a\in U_{o}\subseteq U\right\}}$ die Menge aller Umgebungen vom Punkt ${\displaystyle a}$,
• ${\displaystyle {\stackrel {o}{\mathfrak {U}}}_{\mathcal {T}}(a):={\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)\cap {\mathcal {T}}}$ die Menge aller offenen Umgebungen vom Punkt ${\displaystyle a}$,
• ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {U}}}_{\mathcal {T}}(a):=\left\{{\overline {U}}\,:\,U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)\right\}}$ die Menge aller abgeschlossenen Umgebungen von Punkt ${\displaystyle a}$

Falls keine Missverständnisse über den zugrundeliegenden topologischen Raum auftreten können, wird der Index ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ als Bezeichnung der verwendeten Topologie nicht mit angegeben.

Bei Konvergenzaussagen in den reellen Zahlen betrachtet man in der Regel nur ${\displaystyle \varepsilon }$-Umgebungen. Dabei müssten man in eigentlich in topologischen Räumen für beliebige Umgebungen aus ${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)}$ eine Indexschranke ${\displaystyle i_{U}\in I}$ eines Netzes ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ finden, ab der alle ${\displaystyle x_{i}\in U}$ liegen mit ${\displaystyle i\geq i_{U}}$. Da die ${\displaystyle \varepsilon }$-Umgebungen allerdings eine Umgebungsbasis darstellen, braucht man nach der Konvergenzdefinition die Eigenschaft nur für alle ${\displaystyle \varepsilon >0}$ zu zeigen.

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum, ${\displaystyle a\in X}$, ${\displaystyle I}$ eine Indexmenge (partielle Ordnung) und ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\in X^{I}}$ ein Netz. Die Konvergenz von ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\in X^{I}}$ gegen ${\displaystyle a\in X}$ wird dann wie folgt definiert:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle {{\stackrel {\mathcal {T}}{\lim _{i\in I}}}\,x_{i}=a}&:\Longleftrightarrow &\forall _{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)}\exists _{i_{U}\in I}\forall _{i\geq i_{U}}:\,x_{i}\in U\\\end{array}}}$$.

(dabei ist "${\displaystyle \leq }$" für ${\displaystyle I}$ die partiellle Ordnung auf der Indexmenge).

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum, ${\displaystyle a\in X}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)}$ die Menge aller Umgebungen von ${\displaystyle a\in X}$. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)}$ heißt Umgebungsbasis von ${\displaystyle {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)}$, wenn es zu jedem :${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)\subseteq {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)\wedge \forall _{U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)}\exists _{B\in {\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)}:\,B\subseteq U}$

Sei ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)}$ ein normierter Raum, dann bilden die ${\displaystyle \varepsilon }$-Kugeln

${\displaystyle B_{\varepsilon }^{\|\cdot \|}(a):=\left\{v\in V\,;\,\|v-a\|<\varepsilon \right\}}$

eine Umgebungsbasis von ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)}$ der Menge aller Umgebungen von ${\displaystyle {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)}$ von ${\displaystyle a\in V}$.

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ein toplogischer Raum mit der chaotischen Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}:=\{\emptyset ,X\}}$.

• Bestimmen Sie ${\displaystyle {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)}$ für ein beliebiges ${\displaystyle a\in X}$.
• Zeigen Sie, dass jede Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ gegen einen beliebigen Grenzwert ${\displaystyle a\in X}$ konvergiert.

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum mit der diskreten Topologie, die durch die Metrik:

${\displaystyle d(x,y):=\left\{{\begin{array}{lcl}0&{\mbox{ für }}&x=y\\1&{\mbox{ für }}&x\not =y\\\end{array}}\right.}$.

• Bestimmen Sie ${\displaystyle {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(a)}$ für ein beliebiges ${\displaystyle a\in X}$.
• Aus wie vielen Mengen besteht ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{\mathcal {T}}(a)}$ minimal für ein beliebiges ${\displaystyle a\in X}$?
• Geben Sie alle Folgen ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }}$ in ${\displaystyle (X,d)}$ formal an, die gegen einen Grenzwert ${\displaystyle a\in X}$ konvergieren!

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \wp (X)}$ ist das System der offenen Mengen, d.h.:

${\displaystyle U\subseteq X{\mbox{ offen }}:\Longleftrightarrow U\in {\mathcal {T}}}$

Sei ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum auf der Grundmenge der reellen Zahlen. Die Topologie entspricht aber nicht der euklischen Topologie über den Betrag ${\displaystyle |\cdot |}$, sondern die offenen Mengen sind wie folgt definiert.

${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}{\mbox{ offen }}:\Longleftrightarrow U=\emptyset {\mbox{ oder }}U\subseteq \mathbb {R} \,{\mbox{ mit }}\,U^{c}{\mbox{ abzählbar}}}$

• Zeigen Sie, dass ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})}$ die Eigenschaften eines topologischen Raumes (T1), (T2), (T3) erfüllt.
• Zeigen Sie, dass die Folge ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ in dem topologischen Raum ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {T}})}$ nicht gegen ${\displaystyle 0}$ konvergiert.

Dabei ist ${\displaystyle U^{c}:=\mathbb {R} \setminus U}$ das Komplement von ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Durch das System der offenen Mengen in einer Topologie ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \wp (X)}$ sind auch zugleich die abgeschlossenen Mengen der Topologie definiert als deren Komplemente.

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \wp (X)}$ ist das System der offenen Mengen.

${\displaystyle M\subseteq X{\mbox{ abgeschlossen }}:\Longleftrightarrow \exists _{U\in {\mathcal {T}}}:\,M=U^{c}:=X\setminus U}$

Sei ${\displaystyle (V,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle M\subset V}$, dann ist der offene Kern ${\displaystyle {\stackrel {\circ }{M}}}$ von ${\displaystyle M}$ die Vereinigung aller offenen Teilmengen von ${\displaystyle M}$.

$${\displaystyle {\stackrel {\circ }{M}}:=\bigcup _{U\in {\mathcal {T}},U\subseteq M}U}$$

Sei ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum. Die abgeschlossene Hülle ${\displaystyle {\overline {M}}}$ von ${\displaystyle M}$ ist der Schnitt über alle abgeschlossenen Teilmengen von ${\displaystyle W=U^{c}}$, die ${\displaystyle M}$ enthalten und ${\displaystyle U}$ offen ist.

$${\displaystyle {\overline {M}}:=\bigcap _{U\in {\mathcal {T}},U^{c}:=X\setminus U\supseteq M}U^{c}}$$

Der topologische Rand ${\displaystyle \partial M}$ von ${\displaystyle M}$ ist wie folgt definiert:

$${\displaystyle \partial M:={\overline {M}}\backslash {\stackrel {\circ }{M}}}$$

In metrischen Räumen kann man noch mit den natürlichen Zahlen als abzählbare Indexmengen arbeiten. In beliebigen topologischen Räumen muss man den Begriff der Folge auf den Begriff der Netze verallgemeinern.

Sei ${\displaystyle T}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle I}$ eine Indexmenge (mit partieller Ordnung), dann bezeichnet ${\displaystyle T^{I}}$ die Menge aller mit ${\displaystyle I}$ indizierten Familien in ${\displaystyle T}$:

$${\displaystyle T^{I}:=\{(t_{i})_{i\in I}:t_{i}\in T{\mbox{ für alle }}i\in I\}}$$

Sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum, dann bezeichnet ${\displaystyle c_{oo}(V)}$ die Menge aller endlichen Folgen mit Elementen in ${\displaystyle V}$:

$${\displaystyle c_{oo}(V):=\left\{(v_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}\in V^{\mathbb {N} _{0}}:\exists _{\displaystyle N\in \mathbb {N} _{0}}\forall _{\displaystyle n\geq N}:\,v_{n}=0\right\}.}$$

Eine Algebra ${\displaystyle A}$ über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ist ein Vektorraum über ${\displaystyle \mathbb {K} }$, in dem eine Multiplikation als innere Verknüpfung

$${\displaystyle \cdot :A\times A\longrightarrow A\quad (v,w)\longmapsto v\cdot w}$$

definiert ist, bei der für alle ${\displaystyle x,y,z\in A}$ und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ folgende Eigenschaften erfüllt sind:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x\cdot (y\cdot z)&=&(x\cdot y)\cdot z\\x\cdot (y+z)&=&x\cdot y+x\cdot z\\(x+y)\cdot z&=&x\cdot z+y\cdot z\\\lambda \cdot (x\cdot y)&=&(\lambda \cdot x)\cdot y=x\cdot (\lambda \cdot y)\end{array}}}$

Eine topologische Algebra ${\displaystyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ist ein topologischer Vektorraum ${\displaystyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ über ${\displaystyle \mathbb {K} }$, bei dem auch die Multiplikation

$${\displaystyle \cdot :A\times A\longrightarrow A\quad (v,w)\longmapsto v\cdot w}$$

eine stetige innere Verknüfung ist.

Stetigkeit der Multiplikation bedeutet dabei:

$${\displaystyle \forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}\,(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}\,(0)}:V\cdot V=V^{2}\subset U}$$

Die Topologie nennt man multiplikativ, falls gilt:

$${\displaystyle \forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}\,(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}\,(0)}:V^{2}\subset V\subset U}$$

Bei der Beschreibung der Topologie zeigt das Topologisierungslemma für Algebren, dass sich die Topologie auch durch ein System von Gaugefunktionalen

Die Algebra ${\displaystyle A}$ heißt unital, falls sie ein neutrales Element ${\displaystyle e}$ der Multiplikation besitzt. Insbesondere definiert man ${\displaystyle x^{o}:=e}$ für alle ${\displaystyle x\in A}$. Die Menge aller invertierbaren (regulären) Elemente wird mit ${\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}$ bezeichnet. Nicht-invertierbare Elemente heißen singulär.

Betrachten Sie die Menge ${\displaystyle V}$ der quadratischen ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen mit der Matrixmultiplikation und der Maxmimumsnorm der Komponenten der Matrix. Versuchen Sie einzelne Eigenschaften einer Algebra nachzuweisen (${\displaystyle V}$ ist eine nicht kommunitative unitale Algebra). Für den Nachweis, dass ${\displaystyle V}$ mit der Matrixmultiplkation auch eine topologische Algebra ist, siehe Topologisierungslemma für Algebren.

Siehe auch die Faltung von Funktionen als Multiplikation auf eine Funktionenraum als topologischem Vektorraum.

Sei ${\displaystyle (A,{\mathcal {T}})}$ eine topologische Algebra über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {K} }$, ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {K} }$ und ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ Teilmengen von ${\displaystyle A}$, dann definiert man

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}M_{1}\times M_{2}&:=&\{(m_{1},m_{2})\in A\times A\,:\,m_{1}\in M_{1}\wedge m_{2}\in M_{2}\}\\M_{1}+M_{2}&:=&\{m_{1}+m_{2}\,:\,m_{1}\in M_{1}\wedge m_{2}\in M_{2}\}\\M_{1}\cdot M_{2}&:=&\{m_{1}\cdot m_{2}\,:\,m_{1}\in M_{1}\wedge m_{2}\in M_{2}\}\\\Lambda \cdot M_{1}&.=&\{\lambda \cdot m_{1}\,:\,m_{1}\in M_{1}\wedge \lambda \in \Lambda \}.\\\end{array}}}$

Zeichnen Sie die folgenden Menge ${\displaystyle M_{k}}$ der Vektor als Punktmengen im kartesischen Koordinatensystem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ mit ${\displaystyle M_{1}:=\left\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right\}}$ und ${\displaystyle M_{2}:=\left\{{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$ und den folgenden Intervallen ${\displaystyle [a,b]\in \mathbb {R} }$:

• ${\displaystyle [1,4]\times [2,3]}$
• ${\displaystyle M_{1}+M_{2}}$
• ${\displaystyle [1,2]\cdot M_{1}}$

• Beispiele für Vektorräume
• Vektorraum
• Topologischer Raum
• Topologischer Vektorraum
• Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem
• Lokalkonvexe Vektorräume
• Pseudokonvexe Vektorräume
• Netze (Mathematik)
• Hausdorffeigenschaft
• Algebraerweiterung
• Normen, Metriken, Topologie
• Minkowski-Funktionale
• Topologisierungslemma für Algebren
• Lemma - Kaskadensummen Gaugefunktionale
• Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen

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