Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität

Wenn wir die ${\displaystyle {\mathcal {LC}}}$-Regularität eines Elementes ${\displaystyle z\in A}$ für eine lokalkonvexe topologische Algebra ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ sprechen, suchen wir nach einer lokalkonvexen Algebraerweiterungen ${\displaystyle (B,\|\cdot \|_{\mathcal {B}})}$ von ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ in der ${\displaystyle z\in A}$ invertierbar ist. Dabei besteht

• ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}:=\{\|\cdot \|_{\alpha }\,:\,\alpha \in {\mathcal {A}}\}}$ und
• ${\displaystyle \|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}:=\{\|\cdot \|_{\widetilde {\alpha }}\,:\,{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}\}}$

aus einem System von Halbnormen, die die Topologie auf ${\displaystyle A}$ bzw. ${\displaystyle B}$ erzeugen.

Zielsetzung einer lokalkonvexe Algebraerweiterung ${\displaystyle (B,\|\cdot \|_{\mathcal {B}})}$ zu einer gegebenen topologischen Algebra ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ mit ${\displaystyle z\in A}$ ist es, die gegebene lokalkonvexe Algebraerweiterung so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element ${\displaystyle z^{-1}:=b\in B}$ in der lokalkonvexen Algebraerweiterung ${\displaystyle B}$ besitzt. Als topologieerzeugende ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionale werden hier Halbnormen ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ verwendet.

Für kommutative lokalkonvexe Algebren ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ mit unital positivem Halbnormensystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$ erhält man folgende Charakterisierung:

${\displaystyle z\in {\mathcal {TKP}}(A)}$ (topologisch kleine Potenzen) ${\displaystyle z\in A}$ ${\displaystyle \Longrightarrow }$ ${\displaystyle {\mathcal {LC_{e}^{k}}}}$-singulär

Für kommutative lokalkonvexe Algebren ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ mit unital positivem ${\displaystyle p}$-Halbnormensystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$ erhält man folgende Charakterisierung:

${\displaystyle z\in A}$ erfüllt das LC-Regularitätskriterium ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle z\in A}$ ${\displaystyle {\mathcal {LC_{e}^{k}}}}$-regulär

Ein Element ${\displaystyle z\in A}$ besitzt genau ${\displaystyle {\mathcal {LC}}_{e}^{k}}$-regulär in ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {LC}}_{e}^{k}}$, wenn es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine isotone Folge von Halbnormen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ mit positiven Konstanten ${\textstyle D_{(\alpha ,k)}}$ gibt, für die gilt:

• (LC1) ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und
• (LC2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Algebraerweiterung ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle A}$ ist hier eine lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element ${\displaystyle b=z^{-1}\in B}$ zu einem gegebenen ${\displaystyle z\in A}$ enthält.

Sei ${\textstyle {\mathcal {LC}}_{e}}$ die Klasse der lokalkonvex unitalen Algebren und ${\textstyle A\in {\mathcal {LC}}_{e}}$. Die Algebraerweiterung ${\textstyle B\in {\mathcal {LC}}_{e}}$ bzw. ${\textstyle {\mathcal {LC}}}$-Erweiterung von ${\textstyle A}$ benötigt nach Definition es einen Algebraisomorphismus ${\textstyle \tau :A\longrightarrow A'\subset B}$ mit:

• ${\textstyle \tau (e_{_{A}})=e_{_{B}}}$, wobei ${\textstyle e_{_{A}}}$ ist das Einselement von ${\textstyle A}$ und ${\textstyle e_{_{B}}\in A'}$ das Einselement von ${\textstyle B}$ ist.
• ${\textstyle A}$ ist homöomorph zu ${\textstyle A'}$; d.h. ${\textstyle \tau }$ und ${\textstyle \tau ^{-1}:A'\longrightarrow A}$ sind stetig.

• Im allgemeinen identifiziert man ${\textstyle A}$ mit ${\textstyle A'}$ und schreibt ${\textstyle A\subset B}$. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus ${\displaystyle x\in A}$ mit Elementen ${\displaystyle \tau (x)=x+I\in B}$ in einem Quotientenraum ${\displaystyle B:=A[t]/I}$ identifiziert werden.
• Sei ${\textstyle {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}$ eine Nullumgebungsbasis der Relativtopologie von ${\textstyle B}$ auf ${\textstyle A'}$ und ${\textstyle {\mathfrak {U}}_{A}(0)}$ eine Nullumgebungsbasis von ${\textstyle A}$, dann kann man die Homöomorphie zwischen ${\textstyle A}$ und ${\textstyle A'}$ wie immer über die Topologie ausdrücken:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}\exists _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}&:&U\subset V\,\,\,(\tau (U)\subset V)\\\forall _{\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{A'}(0)}\exists _{\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}_{A}(0)}&:&V\subset U\,\,\,(\tau ^{-1}(V)\subset U).\end{array}}}$

Betrachtet man die Halbnormen ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen):

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}},C_{1}>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|x\right\|_{\alpha }\leq C_{1}\cdot \left\|\tau (x)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{\alpha }\leq C_{1}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\circ \tau \\\forall _{{\widetilde {\alpha }}\in {\mathcal {A}}}\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}},C_{2}>0}\forall _{x\in A}&:&\left\|\tau (x)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq C_{2}\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }\\{\mbox{ bzw. }}&&\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\circ \tau \leq C_{2}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\alpha }.\end{array}}}$

Wir betrachten zunächst multiplikative kommuntative Algebren ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{A})}$.

• Ausgehend von ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{A})}$ wird die Polynomalgebra ${\displaystyle (A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{A[t]})}$ mit einer Halbnorm ${\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{A[t]}}$ topologisiert.
• Halbnorm ${\displaystyle \|\!|\cdot |\!\|_{A[t]}}$ macht ${\displaystyle A[t]}$ zu einer topologischen Algebra, wobei die Stetigkeit der algebraischen Operationen (insbesondere die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation) nachzuweisen ist.
• Übergang zu dem Quotientenraum ${\displaystyle B:=A[t]/I}$, wobei das Polynom ${\displaystyle o(t):=z\cdot t-e_{A}}$ das Hauptideal ${\displaystyle I:=o\cdot A[t]}$ definiert und ${\displaystyle o\in A[t]}$ ein Repräsentant des Nullvektors ${\displaystyle 0_{B}:=I=o+I}$ in ${\displaystyle B}$ ist.
• Die Konstruktion des Ideals ${\displaystyle I}$ liefert die algebraische Invertierbarkeit, denn mit ${\displaystyle b(t):=e_{A}\cdot t}$ ist ${\displaystyle b_{I}:=b+I\in B=A[t]/I}$ das inverse Element zu ${\displaystyle z\in A}$ mit ${\displaystyle z_{I}:=\tau (z)=z+I\in B}$ mit ${\displaystyle z_{I}\cdot b_{I}-e_{B}=0_{B}}$ bzw. ${\displaystyle z_{I}\cdot b_{I}=e_{B}}$. Die Kommutativität liefert dann, dass auch ${\displaystyle b_{I}\cdot z_{I}=e_{B}}$ gilt.

Zelazko hat die ${\displaystyle {\mathcal {LC}}_{e}^{k}}$-regulären Elemente^[1] 1984 über die folgende Bedingung charakterisiert. Dabei liefert die von Zelazko angegebene Bedingung unmittelbare eine Topologisierung der Polynomalgebra, wobei die Topologie auf dem Quotientenraum ${\displaystyle B:=A[t]/I}$, in der ein gegebenes ${\displaystyle z\in A}$ invertierbar ist, immer noch die Punkte von ${\displaystyle A}$ über den Algebraisomorphismus ${\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}$ trennt.

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {LC}}_{e}^{k}}$, dann gilt: Ein Element ${\textstyle z\in A}$ ist genau dann ${\textstyle {\mathcal {LC}}_{e}^{k}}$-regulär, falls es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine Folge positiver Zahlen ${\textstyle (D_{k}(\alpha ))_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ gibt, so dass

$${\displaystyle \left\|x_{o}\right\|_{\alpha }\leq \sum _{k=1}^{\infty }D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z\cdot x_{k-1}-x_{k}\right\|_{\beta }}$$

für alle endlichen Folgen ${\textstyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in c_{oo}(A)}$ in ${\textstyle A}$ gilt.

Für den Beweis der ${\displaystyle {\mathcal {LC}}_{e}^{k}}$-Charakterisierung muss man die Koeffizienten ${\displaystyle D_{k}(\alpha )\leq C_{k}(\alpha )}$ so vergrößeren, dass die Cauchy-Multiplikation auf ${\displaystyle A[t]}$ stetig ist.

• Seien ${\textstyle \left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{\alpha }=\displaystyle \sum _{k:=0}^{\infty }C_{k}(\alpha )\cdot \left\|p_{k}\right\|_{\alpha }}$ die Halbnormen auf ${\displaystyle B:=A[t]/I}$. Zeigen Sie, dass die Halbnorm folgende Eigenschaft erfüllt: ${\textstyle \left\|x_{I}\right\|_{B,\alpha }\geq \left\|x\right\|_{\alpha }}$ für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$.
• Erläutern Sie über die Definition des Ideals, warum das Kriterium von Zelazko die obigen Summen erzeugen.

Die Charakterisierung der ${\displaystyle {\mathcal {LC}}_{e}^{k}}$-regulären Elemente kann man als Spezialfall der pseudokonvexen kommutativen Algebren auffassen (siehe ${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$-Regularität), wobei für alle ${\displaystyle p}$-Halbnormen ${\displaystyle p=1}$ gesetzt wird. Die Topologisierung der Polynomalgebra erfolgt dann analog über eine Halbnorm statt Quasihalbnorm ${\displaystyle \|\cdot \|_{(n,k)}^{(\alpha )}}$ und damit werden die Koeffizienten ${\displaystyle p_{k}\in A}$ von ${\displaystyle p_{k}\cdot t^{k}}$ gemessen und gehen mit ${\displaystyle C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \|p_{k}\|_{(n,k)}^{(\alpha )}}$ additiv in den Wert des Halbnorm ${\textstyle \left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{(\alpha ,n)}}$ ein. Für das genau Vorgehen siehe (siehe ${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$-Regularität).

1. ↑ Zelazko Wieslaw, (1984), Concerning characterization of permanently singular elements in commutative locally convex algebras, Mathematical Structures – Computational Mathematics – Mathematical Modelling 2, Sofia, S. 326-333

• Algebraerweiterung
• Konstruktion des Algebraisomorphismus
• Halbnorm
• P-Regularität
• B-Regularität
• MLC-Regularität
• PC-Regularität
• Normen, Metriken, Topologie
• Minkowski-Funktional
• Konvexkombination
• Topologisierungslemma für Algebren
• Relativtopologie
• Neutrales Element

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