Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen

Im Gegensatz zu Dreiecksungleichungen bei Halbnormen,${\displaystyle p}$-Halbnormen oder der Subadditivität mit Stetigkeitskonstante der Addition bei Quasihalbnormen kann man im Allgemeinen bei mehreren Summanden bei topologischen Algebren für mehrere Summanden in einer Addition nicht notwendig das gleiche Gaugefunktional unabhängig von der Anzahl der Summanden wählen. Das Kaskaden-Lemma für Summen ist notwendig, um für die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation und eine unterschiedliche Anzahl der Summanden ein Abschätzung zu erhalten, die die Cauchy-Multiplikation stetig auf der Polynomalgebra macht.

Sei ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$, dann gibt es für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ eine Stetigkeitssequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$, die folgende Eigenschaften besitzt:

• (KA1) ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n-1\}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }}$
• (KA2) ${\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{\alpha }\leq \sum _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}\right)}$

Für den Beweis verwendet man Ungleichung für die Stetigkeit der Addition für ein basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem aus dem Topologisierungslemma für Algebren. Der Beweis gliedert sich in 3 Teile:

• Stetigkeitssequenz wird induktiv definiert und sei ${\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }}$ ,
• (KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz
• (KA2) Kaskadenungleichung

Mit der Stetigkeitssequenzen der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ ein ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta _{1}}}$ mit

${\displaystyle \|x+y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta _{1}}+\|y\|_{\beta _{1}}}$

für alle ${\displaystyle x,y\in A}$. Zu ${\displaystyle _{\beta _{1}}\in {\mathcal {A}}}$ gilt es wieder ein ${\displaystyle p}$-Gaugefunktional ${\displaystyle \|\cdot \|_{\gamma }}$ mit

${\displaystyle \|x+y\|_{\beta _{1}}\leq \|x\|_{\gamma _{1}}+\|y\|_{\gamma _{1}}}$

für alle ${\displaystyle x,y\in A}$. Man definiert nun ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,1)}:=\|\cdot \|_{\gamma _{1}}}$.

Angewendet auf die Summe ${\displaystyle x_{1}+y_{1}+\sum _{k=2}^{n}(x_{k}+y_{k})}$ mit ${\displaystyle k=1}$ ergibt sich.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})\right\|_{(\alpha ,0)}&\leq &\|x_{1}+y_{1}\|_{\beta _{1}}+\left\|\displaystyle \sum _{i=2}^{n}(x_{i}+y_{i})\right\|_{\beta _{1}}\\&=&\|x_{1}\|_{(\alpha ,1)}+\|y_{1}\|_{(\alpha ,1)}+\\&&+\,\|x_{2}+y_{2}\|_{(\alpha ,1)}+\left\|\displaystyle \sum _{i=3}^{n}(x_{i}+y_{i})\right\|_{(\alpha ,1)}\\\end{array}}}$

Ist nun ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}$ gegeben, so kann man wieder zu diesem ${\displaystyle p}$-Gaugefunktional ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}}$ wieder ${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta _{k}}}$ finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

• ${\displaystyle \|x+y\|_{(\alpha ,k)}\leq \|x\|_{\beta _{k}}+\|x\|_{\beta _{k}}}$ für alle ${\displaystyle x,y\in A}$
• Man definiert nun ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k+1)}:=\|\cdot \|_{\beta _{k}}}$

Mit der obigen Konstruktion erweitern man nun die Summen von ${\displaystyle k}$ auf ${\displaystyle k+1}$ und das Gaugefunktional ${\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,k)}}$ bereits induktiv definiert. Angewendet auf die Summe ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}(x_{i}+y_{i})+(x_{i}+y_{i})+\sum _{i=k+2}^{n}(x_{i}+y_{i})}$ ergibt sich.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|\displaystyle \sum _{i=2}^{n}(x_{i}+y_{i})\right\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left(\|x_{i}\|_{(\alpha ,i)}+\|y_{i}\|_{(\alpha ,i)}\right)+\\&&+\,\underbrace {\|x_{k+1}+y_{k+1}\|_{(\alpha ,k)}} _{\leq \|x_{k+1}\|_{(\alpha ,k+1)}+\|y_{k+1}\|_{(\alpha ,k+1)}}+\left\|\displaystyle \sum _{i=k+2}^{n}(x_{i}+y_{i})\right\|_{(\alpha ,k)}\\&\leq &\displaystyle \sum _{i=1}^{k+1}\left(\|x_{i}\|_{(\alpha ,i)}+\|y_{i}\|_{(\alpha ,i)}\right)+\\&&+\,\|x_{k+2}+y_{k+2}\|_{(\alpha ,k+1)}+\left\|\displaystyle \sum _{i=k+3}^{n}(x_{i}+y_{i})\right\|_{(\alpha ,k)}\\\end{array}}}$

Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h. ${\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,k)}\leq \|\cdot \|_{(\alpha ,k+1)}}$), denn für alle ${\displaystyle x\in A}$ gilt:

${\displaystyle \|x\|_{(\alpha ,k)}=\|x+0_{A}\|_{(\alpha ,k)}\leq \|x\|_{(\alpha ,k+1)}+\underbrace {\|0\|_{(\alpha ,k+1)}} _{=0}=\|x\|_{(\alpha ,k+1)}}$

Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen wird schrittweise für 3 Summanden angewendet:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}(x_{k}+y_{k})\right\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}+\left\|\sum _{k=2}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}\right)+\left\|\sum _{k=3}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}\right)\end{array}}}$

Insgesamt folgt die Behauptung. ${\displaystyle \Box }$

Sei ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$, dann gibt es für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ eine isotone Stetigkeitssequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$, die folgende Eigenschaften besitzt:

• (KA1) ${\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}\cdot \left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{o}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }}$
• (KA2) ${\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{(\alpha ,m)}\leq \sum _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}\right)}$ für alle ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{o}}$.

Sei ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$, dann gibt es für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ eine isotone Stetigkeitssequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$, die folgende Eigenschaften besitzt:

• (SA1) ${\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}\cdot \left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{o}}$ und ${\displaystyle \|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }}$
• (SA2) ${\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|_{(\alpha ,m)}\leq \sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}}$

Das Korollar 2 erhält man unmittelbar aus Korollar 1 durch Setzung von ${\displaystyle y_{k}=0_{A}}$.

Beweisen Sie das Korollar 1 unter Verwendung der Lemmas über Kaskadensummen und über die Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra (siehe Topologisierungslemma für Algebren)

• basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem
• Lemma - Kaskadenprodukte
• Stetigkeitssequenz
• Topologische Algebra
• Topologisierungslemma für Algebren
• Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen

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