Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - KP-TNT-Summen

Der Beweis zum Satz über Summen von Elementen mit kleinen Potenzen und topologischen Nullteilern wurde von Zelazko (1983) ^[1] über permanente Radikale in kommutativen lokalkonvexen Algebren formuliert. Der folgende Beweis des Satzes über Gaugefunktionale soll zeigen, dass Elementen ${\displaystyle z\in {\mathcal {KP}}(A)+{\mathcal {TNT}}(A)}$ sogar in beliebigen topologischen Algebren permanent singuläre Elemente sind.

Die Aussage steht ebenfalls im Zusammenhang mit dem Begriff der topologisch kleinen Potenzen, denn Summen aus

• Elementen mit kleinen Potenzen und
• topologischen Nullteiler

sind Elemente mit topologisch kleinen Potenzen.

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {T}}_{e}^{k}}$, dann besteht die Menge

$${\displaystyle {\mathcal {KP}}(A)+{\mathcal {TNT}}(A):=\{z_{1}+z_{2}:z_{1}\in {\mathcal {KP}}(A)\wedge z_{2}\in {\mathcal {TNT}}(A)\}}$$

aus ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-singulären Elementen.

Sei ${\textstyle z=z_{1}+z_{2}\in {\mathcal {KP}}(A)+{\mathcal {TNT}}(A)}$, dann gibt es für alle ${\textstyle k\in \mathbb {N} }$ ein ${\textstyle a_{k}\in A}$ mit ${\textstyle z^{k}=z_{1}^{k}+a_{k}\cdot z_{2}}$.

Nach dem Lemma über Produkte mit topologischen Nullteilern ist ${\textstyle a_{k}\cdot z_{2}\in {\mathcal {TNT}}(A)}$. Aus ${\textstyle z_{1}\in {\mathcal {KP}}(A)}$ folgt

$${\displaystyle \forall _{\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}\exists _{\displaystyle n(\beta )\in \mathbb {N} }:\left\|z_{1}^{k(\beta )}\right\|_{\beta }=0.}$$

Ferner gibt es mit Lemma zur Charakterisierung der topologischen Nullteiler über Gaugefunktionale und ${\textstyle z_{2}\in {\mathcal {TNT}}(A)}$ ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$, so dass

$${\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z_{2}x\right\|_{\beta }=0{\mbox{ für alle }}\beta \in {\mathcal {A}}{\mbox{ gilt.}}}$$

Zu jedem ${\textstyle \beta }$ wählt man aufgrund der Stetigkeit der Addition ein ${\textstyle {\widetilde {\beta }}\in {\mathcal {A}}}$ mit

$${\displaystyle \left\|x+y\right\|_{\beta }\leq \left\|x\right\|_{\widetilde {\beta }}+\left\|y\right\|_{\widetilde {\beta }}{\mbox{ für alle }}x,y\in A.}$$

Wegen der Stetigkeit der Multiplikation kann man wieder zu jedem ${\textstyle {\widetilde {\beta }}\in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle {\widehat {\beta }}\in {\mathcal {A}}}$ finden mit

$${\displaystyle \left\|xy\right\|_{\widetilde {\beta }}\leq \left\|x\right\|_{\widehat {\beta }}\cdot \left\|y\right\|_{\widehat {\beta }}{\mbox{ für alle }}x,y\in A.}$$

Insgesamt erhält man

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z^{k({\widehat {\beta }})}\cdot x\right\|_{\beta }&\leq &\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}{\bigg (}\left\|z_{1}^{k({\widehat {\beta }})}\cdot x\right\|_{\widetilde {\beta }}+\left\|a_{k({\widehat {\beta }})}\cdot z_{2}\cdot x\right\|_{\widetilde {\beta }}{\bigg )}\\&\leq &\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}{\bigg (}\underbrace {\left\|z_{1}^{k({\widehat {\beta }})}\right\|_{\widehat {\beta }}} _{=0}\cdot \left\|x\right\|_{\widehat {\beta }}+\left\|a_{k({\widehat {\beta }})}\right\|_{\widehat {\beta }}\cdot \left\|z_{2}\cdot x\right\|_{\widehat {\beta }}{\bigg )}\\&=&0\end{array}}}$

Also ist die ${\displaystyle {\mathcal {TKP}}}$-Bedingung erfüllt und damit ist die Summe aus einem Element mit kleinen Potenzen und einem topologischen Nullteiler ein permanent singuläres Element in ${\displaystyle A}$ bzw. ist ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-singulär. ${\displaystyle \Box }$

• Topologisch kleine Potenzen
• Topologische Nullteiler
• Kleine Potenzen

1. ↑ Zelazko Wieslaw, On permanent radicals in commutative locally convex algebras, Studia Math. 75 (1983), S. 265-272

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20KP-TNT-Summen
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.