Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - TKP und Gaugefunktionale

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ und ${\textstyle z\in A}$ gegeben. Wenn es ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt, so dass für alle ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle k(\beta )\in \mathbb {N} }$ mit

$${\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z^{k(\beta )}\cdot x\right\|_{\beta }=0}$$

existiert, so ist ${\textstyle z}$ ein ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-singuläres Element.

Der obige Satz wird über die Kontraposition bewiesen, indem man annimmt, dass ein Element ${\displaystyle z\in A}$ ein ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-reguläres Element ist, und dann die Negation der obigen Aussage gilt.

Der obige Satz wird über die Kontraposition bewiesen und die Eigenschaften der Hömöomorphie der Einbettung bzgl. einer Algebraerweiterung, in der ein ${\displaystyle z\in A}$ invertierbar ist.

Seien ${\textstyle z\in {\mathcal {G}}_{\mathcal {T}}(A)}$, ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right),\left(B,\left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}\right)\in {\mathcal {T}}_{e}(\mathbb {K} )}$, ${\textstyle B}$ eine ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-Erweiterung von ${\textstyle A}$ und ${\textstyle b\in B}$ sei das Inverse zu ${\textstyle z}$. Ohne Einschränkung sind die obigen Gaugefunktionalsysteme unital positiv.

Man betrachtet das auf der Algebraerweiterung ${\textstyle B}$ definierte Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ und induziert damit ein Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ auf ${\displaystyle A}$, das zu dem gegebenen Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ äquivalent ist.

Das von ${\displaystyle B}$ auf ${\displaystyle A}$ induzierte Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ wird mit dem Algebraisomorphismus ${\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}$ definiert (siehe Algebraerweiterung) d.h.

$${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}:&A&\longrightarrow &\mathbb {K} ,\\&x&\longmapsto &\left\|\!\left|\tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\alpha }}{\mbox{ mit }}{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}\\\end{array}}}$$

Da ${\displaystyle \tau :A\to A'\subset B}$ ein Algebraisomorphismus ist und ${\displaystyle A'}$ homöomorph zu ${\displaystyle A}$ ist, liefert die Stetigkeit von ${\displaystyle \tau }$ und ${\displaystyle \tau ^{-1}}$ die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$.

Nun definiert man damit folgendes System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{{\widetilde {\mathcal {A}}}\times \mathbb {N} _{0}}}$ mit den Funktionalen

$${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{({\widetilde {\alpha }},k)}:A\longrightarrow \mathbb {K} ,x\longmapsto \left\|\!\left|z^{k}\cdot x\right|\!\right\|_{\widetilde {\alpha }}{\mbox{ mit }}{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}.}$$

Für alle ${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ gibt es ${\textstyle {\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$, sodass für alle ${\textstyle x\in A}$ gilt

$${\displaystyle \left|\!\left\|x\cdot y\right\|\!\right|_{\widetilde {\alpha }}\leq \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}\cdot \left|\!\left\|y\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}}$$

Man erhält über die Stetigkeit der Multiplikation folgende Ungleichungen:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{\widetilde {\alpha }}&=&\left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\alpha }}=\left|\!\left\|z^{k}\cdot b^{k}\cdot x\right\|\!\right|_{\widetilde {\alpha }}\\&\leq &\left|\!\left\|z^{k}\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}\cdot \left|\!\left\|b^{k}\cdot x\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}\\&\leq &\underbrace {\left|\!\left\|z^{k}\right\|\!\right|_{\gamma }} _{D_{k}({\widetilde {\alpha }})}\cdot \left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},k)}=D_{k}({\widetilde {\alpha }})\cdot \left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},k)}\\\end{array}}}$

Unter Verwendung der Unitalen Positivität der verwendeten Gaugfunktionalsysteme erhält man insbesondere:

$${\displaystyle 0<\left\|e_{A}\right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq D_{k}({\widetilde {\alpha }})\cdot \left\|z^{k}\cdot e_{A}\right\|_{\beta }=\underbrace {D_{k}({\widetilde {\alpha }})} _{>0}\cdot \underbrace {\left\|z^{k}\right\|_{\widetilde {\beta }}} _{>0}}$$

Insgesamt gilt die folgende Abschätzung durch die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme auch für das gegebene Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$, denn für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt es eine Konstante ${\displaystyle C_{1}>0}$ und eine ${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ mit

${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }\leq C_{1}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}}$

Für diese ${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ gibt es eine Konstante ${\displaystyle D_{k}({\widetilde {\alpha }})>0}$ und ein ${\displaystyle {\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq D_{k}({\widetilde {\alpha }})\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\widetilde {\beta }}}$

Dann gibt es wieder mit der Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme ${\displaystyle {\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$ gibt es ein ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ eine Konstante ${\displaystyle C_{2}>0}$ mit

${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq C_{2}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\beta }}$

Insgesamt erhält man für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt es ein ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und Konstanten ${\displaystyle D_{k}(\alpha )>0}$ die analoge Ungleichung für das Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ für alle ${\displaystyle x\in A}$:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{\alpha }&\leq &C_{1}\cdot \left\|x\right\|_{\widetilde {\alpha }}\\&\leq &C_{1}\cdot D_{k}({\widetilde {\alpha }})\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\widetilde {\beta }}\\&\leq &\underbrace {C_{1}\cdot D_{k}({\widetilde {\alpha }})\cdot C_{2}} _{D_{k}(\alpha )}\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }\\\end{array}}}$

Die obige Ungleichung ${\displaystyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }}$ gilt ohne Einschränkung für ${\displaystyle \|x\|_{\alpha }=0}$. Für ${\displaystyle \|x\|_{\alpha }>0}$ kann man die obige Gleichung wie folgt umformen:

${\displaystyle {\frac {1}{D_{k}(\alpha )}}\leq \underbrace {\frac {1}{\left\|x\right\|_{\alpha }}} _{=\left(\left\|x\right\|_{\alpha }^{-{\frac {1}{p}}}\right)^{p}}\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }=\left\|z^{k}\cdot {\frac {x}{\left\|x\right\|_{\alpha }^{\frac {1}{p}}}}\right\|_{\beta }}$

Das Infimum wird auch bei ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalen für alle ${\displaystyle \|x\|_{\alpha }=1}$ gebildet, denn es gilt:

${\displaystyle \left\|{\frac {x}{\left\|x\right\|_{\alpha }^{\frac {1}{p}}}}\right\|_{\alpha }=\left({\frac {1}{\left\|x\right\|_{\alpha }^{\frac {1}{p}}}}\right)^{p}\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }={\frac {\left\|x\right\|_{\alpha }}{\left\|x\right\|_{\alpha }}}=1}$

Für ${\displaystyle z\in A}$ als ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$-reguläres Element kann man nun das Infimumbildung über alle ${\displaystyle \left\|x\right\|_{\alpha }=1}$ bilden und man erhält für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und Konstanten ${\displaystyle \varepsilon _{k}>0}$, sodass für alle ${\displaystyle x\in A}$ gilt:

${\displaystyle \varepsilon _{k}=\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }}$

Negation der Aussage (13) liefert dann: Es gibt ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt, so dass für alle ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle k(\beta )\in \mathbb {N} }$ mit

$${\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z^{k(\beta )}\cdot x\right\|_{\beta }=0}$$

Damit folgt die Behauptung. ${\displaystyle \Box }$

• topologisch kleine Potenzen
• Elemente mit kleinen Potenzen
• topologische Nullteiler
• Lemma über Produkte mit topologischen Nullteilern

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