Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätkriterium

Ein Element ${\displaystyle z\in A}$ besitzt genau ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{e}^{k}}$-regulär in ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {PC}}_{e}^{k}}$, wenn es für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ und eine isotone Folge von Gaugefunktionalen ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ als Stetigkeitssequenz der Addition und positive Konstanten ${\textstyle D_{(\alpha ,k)}}$ gibt, für die gilt:

• (T1) ${\textstyle \left\|x\right\|_{\alpha }\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq D_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|x\right\|_{\beta }}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ und
• (T2) ${\textstyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für alle ${\textstyle x\in A}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Die Stetigkeitssequenz der Addition ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$ erfüllt die Bedingung.

${\displaystyle \left\|x+y\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}+\left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$

Damit kann man für die Regularitätsbeweise folgenden Abschätzung für Differenzen durchführen:

${\displaystyle \left\|x\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|x-y\right\|_{(\alpha ,k+1)}+\left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$

Angewendet auf das obige Regulariätskriterium erhält man:

${\displaystyle \left\|z\cdot x\right\|_{(\alpha ,k)}-\left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}\leq \left\|z\cdot x-y\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$

Betrachten Sie bei der ${\displaystyle {\mathcal {PC}}}$-Regulariät die Abschätzung der Quotientenhalbnormen nach unten.

• Welche Analogie und Unterschiede gibt es zwischen der Abschätzung bei Quasihalbnormen und Stetigkeitskonstanten der Addition und einer Stetigkeitssequenz der Addition bei beliebigen topologischen Algebren.

• Topologische Algebra
• Stetigkeitssequenz

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