Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale

Sei ${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ wird ein topologischer Nullteiler mengentheoretisch über das System der offenen Mengen ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{A}}$ definiert. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, musste man über topologischer Eigenschaften rechtseitigen bzw. linkseitige topologischen Nullteiler über Mengen beschreiben. Ein Kriterium, dass die Eigenschaften ${\displaystyle z\in {\mathcal {TNT}}(A)}$ bzw. ${\displaystyle z\notin {\mathcal {TNT}}(A)}$ über Gaugefunktionale, Halbnormen, Quasinormen, ${\displaystyle p}$-Normen, ... definert ist das Ziel eine Kriteriums zur Charakterisierung der Eigenschaft einer topologischen Nullteilers über Gaugefunktionale

Man nennt ${\textstyle z\in A}$ einen rechtsseitigen topologischen Nullteiler in ${\textstyle A}$ (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$), falls es eine Nullumgebung ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ gibt, für die gilt:

$${\displaystyle 0_{A}\in {\overline {z\cdot (A\setminus U_{0})}}}$$

${\textstyle z\in A}$ heißt linksseitger topologischer Nullteiler in ${\textstyle A}$ (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$), falls ein ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ existiert, der folgende Eigenschaft erfüllt:

$${\displaystyle 0_{A}\in {\overline {(A\setminus U_{0})\cdot z}}}$$

${\textstyle z\in A}$ ist ein topologischer Nullteiler (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}(A)}$), falls ${\textstyle z}$ ein rechtseitiger oder ein linkseitiger topologischer Nullteiler ist.

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$, dann ist ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ (bzw. ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$) genau dann, wenn es ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt mit, so dass für alle ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ gilt:

$${\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0\,{\mbox{ mit }}\,z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)\,\,\,\,(\ast )}$$

bzw.

$${\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|x\cdot z\right\|_{\beta }=0\,{\mbox{ mit }}\,z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$$

Sei ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ und ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ wie in der obigen Definition gewählt. Da das System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$ die Topologie auf ${\textstyle A}$ erzeugt, gibt es ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ein ${\textstyle \varepsilon >0}$, so dass die ${\textstyle \varepsilon }$-Kugel ${\textstyle U_{\alpha }:={\rm {B}}_{\varepsilon }^{\alpha }(0_{A})}$ des ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionals ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ eine Teilmenge von ${\textstyle U_{0}}$ ist.

Dann gilt:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}U_{\alpha }\subset U_{0}&\Longrightarrow &A\setminus U_{0}\subset A\setminus U_{\alpha }\\&\Longrightarrow &0_{A}\in {\overline {z\cdot (A\setminus U_{\alpha })}}\\&\Longrightarrow &\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq \varepsilon }\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0{\mbox{ für alle }}\beta \in {\mathcal {A}}\\&\Longrightarrow &\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0{\mbox{ für alle }}\beta \in {\mathcal {A}}\\&\Longrightarrow &\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0{\mbox{ für alle }}\beta \in {\mathcal {A}}\\\end{array}}}$

Gilt umgekehrt die oben genannte Bedingung ${\textstyle (\ast )}$, wählt man ${\textstyle U_{\alpha }:={\rm {B}}_{1}^{\alpha }(0_{A})}$ als die 1-Kugel um ${\textstyle 0_{A}}$ des ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktionals ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$. Wendet man die Bedingung auf ${\displaystyle \displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0{\mbox{ für alle }}\beta \in {\mathcal {A}}}$ an, folgt aus ${\displaystyle \left\|x\right\|_{\alpha }\geq 1}$ auch ${\displaystyle x\notin U_{\alpha }}$ bzw. ${\displaystyle x\in A\setminus U_{\alpha }}$ und man erhält ${\textstyle 0_{A}\in {\overline {z\cdot (A\setminus U_{\alpha })}}}$. ${\displaystyle \,\,\,\Box }$

Insbesondere gilt für alle ${\textstyle \gamma \geq \alpha }$ die Teilmengenbeziehung ${\textstyle {\mathrm {B} }_{1}^{\gamma }(0_{A})\subset {\mathrm {B} }_{1}^{\alpha }(0_{A})}$ und damit auch

$${\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\gamma }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0{\mbox{ für alle }}\beta \in {\mathcal {A}}.}$$

Für ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$ bzw. ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ kann man die Aussage von dem Lemma analog übertragen.

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$, dann kann man ${\textstyle z\notin {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ (bzw. ${\textstyle z\notin {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$) über Gaugefunktionale äquivalent beschreiben:

${\displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},\,\varepsilon _{\alpha }>0}:\,\,\,\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=\varepsilon _{\alpha }>0\,{\mbox{ mit }}\,z\notin {\mathcal {TNT}}_{r}(A)\,\,\,\,(\ast )}$

bzw.

${\displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},\,\varepsilon _{\alpha }>0}:\,\,\,\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|x\cdot z\right\|_{\beta }=\varepsilon _{\alpha }>0\,{\mbox{ mit }}\,z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$, dann kann man ${\textstyle z\notin {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ (bzw. ${\textstyle z\notin {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$) über Gaugefunktionale äquivalent beschreiben:

${\displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\gamma \in {\mathcal {A}},\,D_{\alpha }>0}:\,\,\,\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{\alpha }\cdot \left\|z\cdot x\right\|_{\gamma }\,{\mbox{ mit }}\,z\notin {\mathcal {TNT}}_{r}(A)\,}$

bzw.

${\displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{\beta \in {\mathcal {A}},\,D_{\alpha }>0}:\,\,\,\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{\alpha }\cdot \left\|x\cdot z\right\|_{\gamma }\,{\mbox{ mit }}\,z\in {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$

• Führen Sei für jedes ${\displaystyle \alpha }$ eine Fallunterscheidung durch für ${\displaystyle \|x\|_{\alpha }=0}$ und ${\displaystyle \|x\|_{\alpha }\not =0}$.
• Normalisieren Sie dann für ${\displaystyle \|x\|_{\alpha }\not =0}$ den Vektor ${\displaystyle {\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{\alpha }}}}$

• Beweisen Sie das Lemma zur Negation des TNT-Kriteriums für Gaugefunktionale über Verwendung des Topologisierungslemmas für Algebren und der Stetigkeit der Multiplikation.
• Wie verändert sich die Beweisführung, wenn die Topologie über ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionale (z.B. submultiplikative ${\displaystyle p}$-Halbnormen) erzeugt wird.

• Führen Sei für jedes ${\displaystyle \alpha }$ eine Fallunterscheidung durch für ${\displaystyle \|x\|_{\alpha }=0}$ und ${\displaystyle \|x\|_{\alpha }\not =0}$.
• Normalisieren Sie dann für ${\displaystyle \|x\|_{\alpha }\not =0}$ den Vektor ${\displaystyle {\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{\alpha }^{\frac {1}{p}}}}}$

• Topologische Nullteiler
• Gaugefunktional
• Topologisierungslemma für Algebren
• B-Regularität
• P-Regularität
• MLC-Regularität
• MPC-Regularität

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