Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 1/latex
\setcounter{section}{1}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen lässt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \mathkor {} {x} {und} {y} {} natürliche Zahlen, die man beide als eine Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann. Zeige, dass man auch das Produkt $xy$ als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe
\mathl{65}{} und deren Produkt $1000$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.
\aufzaehlungzwei {Sind $a$ und $b$
\definitionsverweis {assoziiert}{}{,}
so gilt
\mathl{a | c}{} genau dann, wenn $b | c$.
} {Ist $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,}
so gilt hiervon auch die Umkehrung.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien $f,g$ \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} in $R$. Zeige, dass das Produkt $fg$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass im \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $K[X]$ über einem Körper $K$ die Variable $X$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} und \definitionsverweis {prim}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X]}{,} wobei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
sei, die
\definitionsverweis {Einheiten}{}{}
und die
\definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{.}
Gibt es in den Assoziiertheitsklassen besonders schöne Vertreter?
}
{} {}
Im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper wird oft mit folgender Definition von irreduzibel gearbeitet.
Ein nichtkonstantes
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $K$ einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
bezeichne, heißt \definitionswort {irreduzibel}{,} wenn es keine Produktdarstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { QR
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, die die
\definitionsverweis {Gradbedingung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ <} { \deg (Q)
}
{ <} { \deg (P)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{}
genau die
\definitionsverweis {irreduziblen Elemente}{}{}
in $K[X]$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_{ 2 } [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $2,3,4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Was bedeutet die Eigenschaft, dass man in einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} \anfuehrung{kürzen}{} kann? Beweise diese Eigenschaft.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Multiplikation mit $f$, also die Abbildung
\maabbeledisp {\mu_f} { R } { R
} { x } {fx
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
von
\mathl{(R,+,0)}{} ist. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung, wann $f$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
und wann $f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist, wenn $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ C(\R,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
von $\R$ nach $\R$. Zeige, dass $R$
\zusatzklammer {mit naheliegenden Verknüpfungen} {} {}
ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
ist. Handelt es sich um einen
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {X} {und} {Y} {} \definitionsverweis {topologische Räume}{}{} und \maabbdisp {\varphi} { X } { Y } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass dies einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { C(Y, \R)} {C(X, \R) } { f } { f\circ \varphi } {,} induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ C(M,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ring der stetigen Funktion auf $M$. Zeige, dass zwei zueinander
\definitionsverweis {assoziierte}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die gleiche Nullstellenmenge besitzen, und dass die Umkehrung nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es stetige Funktionen
\maabbdisp {f,g} {\R_{\geq 0}} {\R
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ fg
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
weder
\mathl{f {{|}}_{[0, \delta]}}{} noch
\mathl{g {{|}}_{[0, \delta]}}{} die Nullfunktion ist.
}
{} {}
Die Begriffe teilen, irreduzibel und prim machen in jedem
\definitionsverweis {Monoid}{}{}
Sinn
\zusatzklammer {nicht nur im multiplikativen Monoid eines Ringes} {} {.}
In den folgenden Aufgaben werden Teilbarkeitseigenschaften in einigen kommutativen Monoiden besprochen.
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die natürlichen Zahlen $\N$ als kommutatives Monoid mit der Addition und neutralem Element $0$. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von diesem Monoid. Gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Menge $M$ derjenigen positiven Zahlen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben. Zeige, dass $M$ mit der Multiplikation ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von $M$. Zeige, dass in $M$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in $M$ gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring $R$
\aufzaehlungsechs{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{1 | a}{} und
\mathl{a | a}{.}
}{Für jedes Element $a$ gilt
\mathl{a | 0}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{b | c}{,} so gilt auch
\mathl{a | c}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{c | d}{,} so gilt auch
\mathl{ac | bd}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{,} so gilt auch
\mathl{ac | bc}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Gilt
\mathl{a | b}{} und
\mathl{a | c}{,} so gilt auch
\mathl{a | rb+sc}{} für beliebige Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r,s
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.
\aufzaehlungvier{ $-1$ ist eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{,}
die zu sich selbst invers ist.
}{Jede Einheit teilt jedes Element.
}{Sind $a$ und $b$ assoziiert, so gilt
\mathl{a | c}{} genau dann, wenn $b | c$.
}{Teilt $a$ eine Einheit, so ist $a$ selbst eine Einheit.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_{ 3 } [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass es im Ring der
\definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ C(\R,\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte die Menge $G$ der positiven geraden Zahlen zusammen mit $1$. Zeige, dass $G$ ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von $G$. Zeige, dass in $G$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in $G$ gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Die Aufgabe zum Aufgeben}
Für eine Lösung des folgenden Collatz-Problems haben verschiedene Autoren einen Preis ausgesetzt. Lösungen bitte an die Autoren. Für akzeptierte und prämierte Erstlösungen gibt es hier zusätzlich 200 Punkte, und Sie wären damit automatisch zur Klausur zugelassen.
\inputaufgabe
{200}
{
Für positive ganze Zahlen $n$ betrachten wir folgenden Algorithmus. \einrueckung{Wenn $n$ gerade ist, so ersetze $n$ durch die Hälfte.} \einrueckung{Wenn $n$ ungerade ist, so multipliziere $n$ mit $3$ und addiere dann $1$ dazu.} Frage \zusatzklammer {Collatz-Problem} {} {:} Ist es wahr, dass man bei jeder Startzahl $n$ früher oder später bei $1$ landet?
}
{} {}