Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 1

Finde die kleinste natürliche Zahl, die sich auf mehrfache Weise als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen lässt.

Es seien ${\displaystyle {}x}$ und ${\displaystyle {}y}$ natürliche Zahlen, die man beide als eine Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann. Zeige, dass man auch das Produkt ${\displaystyle {}xy}$ als Summe von zwei Quadratzahlen darstellen kann.

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe ${\displaystyle {}65}$ und deren Produkt ${\displaystyle {}1000}$ ist.

Zeige, dass die Assoziiertheit in einem kommutativen Ring eine Äquivalenzrelation ist.

Zeige, dass in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

1. Sind ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ assoziiert, so gilt ${\displaystyle {}a|c}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}b|c}$.
2. Ist ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich, so gilt hiervon auch die Umkehrung.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und seien ${\displaystyle {}f,g}$ Nichtnullteiler in ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass das Produkt ${\displaystyle {}fg}$ ebenfalls ein Nichtnullteiler ist.

Zeige, dass im Polynomring ${\displaystyle {}K[X]}$ über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ die Variable ${\displaystyle {}X}$ irreduzibel und prim ist.

Bestimme im Polynomring ${\displaystyle {}K[X]}$, wobei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper sei, die Einheiten und die Assoziiertheit. Gibt es in den Assoziiertheitsklassen besonders schöne Vertreter?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass die irreduziblen Polynome genau die irreduziblen Elemente in ${\displaystyle {}K[X]}$ sind.

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$ und sei ${\displaystyle {}P\in K[X]}$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ${\displaystyle {}T}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}P}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}T}$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors ${\displaystyle {}X-a}$ in ${\displaystyle {}T}$ durch seine Vielfachheit in ${\displaystyle {}P}$ beschränkt ist.

Bestimme im Polynomring ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{2}[X]}$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${\displaystyle {}2,3,4}$.

Was bedeutet die Eigenschaft, dass man in einem Integritätsbereich „kürzen“ kann? Beweise diese Eigenschaft.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring und ${\displaystyle {}f\in R}$. Zeige, dass die Multiplikation mit ${\displaystyle {}f}$, also die Abbildung

${\displaystyle \mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,x\longmapsto fx,}$

ein Gruppenhomomorphismus von ${\displaystyle {}(R,+,0)}$ ist. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung, wann ${\displaystyle {}f}$ ein Nichtnullteiler und wann ${\displaystyle {}f}$ eine Einheit ist.

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ${\displaystyle {}R}$ ein Körper ist.

Wir betrachten die Menge ${\displaystyle {}R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ der stetigen Funktionen von ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle {}\mathbb {R} }$. Zeige, dass ${\displaystyle {}R}$ (mit naheliegenden Verknüpfungen) ein kommutativer Ring ist. Handelt es sich um einen Integritätsbereich?

Es seien ${\displaystyle {}X}$ und ${\displaystyle {}Y}$ topologische Räume und

${\displaystyle \varphi \colon X\longrightarrow Y}$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass dies einen Ringhomomorphismus

${\displaystyle C(Y,\mathbb {R} )\longrightarrow C(X,\mathbb {R} ),\,f\longmapsto f\circ \varphi ,}$

induziert.

Es sei ${\displaystyle {}M}$ ein metrischer Raum und ${\displaystyle {}R=C(M,\mathbb {R} )}$ der Ring der stetigen Funktion auf ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass zwei zueinander assoziierte Elemente ${\displaystyle {}f,g\in R}$ die gleiche Nullstellenmenge besitzen, und dass die Umkehrung nicht gelten muss.

Zeige, dass es stetige Funktionen

${\displaystyle f,g\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} ,}$

mit ${\displaystyle {}fg=0}$ derart gibt, dass für alle ${\displaystyle {}\delta >0}$ weder ${\displaystyle {}f{|}_{[0,\delta ]}}$ noch ${\displaystyle {}g{|}_{[0,\delta ]}}$ die Nullfunktion ist.

Betrachte die natürlichen Zahlen ${\displaystyle {}\mathbb {N} }$ als kommutatives Monoid mit der Addition und neutralem Element ${\displaystyle {}0}$. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von diesem Monoid. Gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung?

Betrachte die Menge ${\displaystyle {}M}$ derjenigen positiven Zahlen, die modulo ${\displaystyle {}4}$ den Rest ${\displaystyle {}1}$ haben. Zeige, dass ${\displaystyle {}M}$ mit der Multiplikation ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von ${\displaystyle {}M}$. Zeige, dass in ${\displaystyle {}M}$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in ${\displaystyle {}M}$ gilt.

Beweise die folgenden Eigenschaften zur Teilbarkeit in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$:

1. Für jedes Element ${\displaystyle {}a}$ gilt ${\displaystyle {}1|a}$ und ${\displaystyle {}a|a}$.
2. Für jedes Element ${\displaystyle {}a}$ gilt ${\displaystyle {}a|0}$.
3. Gilt ${\displaystyle {}a|b}$ und ${\displaystyle {}b|c}$, so gilt auch ${\displaystyle {}a|c}$.
4. Gilt ${\displaystyle {}a|b}$ und ${\displaystyle {}c|d}$, so gilt auch ${\displaystyle {}ac|bd}$.
5. Gilt ${\displaystyle {}a|b}$, so gilt auch ${\displaystyle {}ac|bc}$ für jedes ${\displaystyle {}c\in R}$.
6. Gilt ${\displaystyle {}a|b}$ und ${\displaystyle {}a|c}$, so gilt auch ${\displaystyle {}a|rb+sc}$ für beliebige Elemente ${\displaystyle {}r,s\in R}$.

Zeige, dass in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten.

1. ${\displaystyle {}-1}$ ist eine Einheit, die zu sich selbst invers ist.
2. Jede Einheit teilt jedes Element.
3. Sind ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}b}$ assoziiert, so gilt ${\displaystyle {}a|c}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}b|c}$.
4. Teilt ${\displaystyle {}a}$ eine Einheit, so ist ${\displaystyle {}a}$ selbst eine Einheit.

Bestimme im Polynomring ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{3}[X]}$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${\displaystyle {}3}$.

Zeige, dass es im Ring der stetigen Funktionen ${\displaystyle {}R=C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$ Nichtnullteiler gibt, die unendlich viele Nullstellen besitzen.

Betrachte die Menge ${\displaystyle {}G}$ der positiven geraden Zahlen zusammen mit ${\displaystyle {}1}$. Zeige, dass ${\displaystyle {}G}$ ein kommutatives Monoid ist. Bestimme die irreduziblen Elemente und die Primelemente von ${\displaystyle {}G}$. Zeige, dass in ${\displaystyle {}G}$ jedes Element Produkt von irreduziblen Elementen ist, aber keine eindeutige Primfaktorzerlegung in ${\displaystyle {}G}$ gilt.

Für positive ganze Zahlen ${\displaystyle {}n}$ betrachten wir folgenden Algorithmus.

Wenn ${\displaystyle {}n}$ gerade ist, so ersetze ${\displaystyle {}n}$ durch die Hälfte.

Wenn ${\displaystyle {}n}$ ungerade ist, so multipliziere ${\displaystyle {}n}$ mit ${\displaystyle {}3}$ und addiere dann ${\displaystyle {}1}$ dazu.

Frage (Collatz-Problem): Ist es wahr, dass man bei jeder Startzahl ${\displaystyle {}n}$ früher oder später bei ${\displaystyle {}1}$ landet?