Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die kleinste Zahl $N$ der Form
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ = }{ p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_r +1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die keine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
ist, wobei
\mathl{p_1, p_2 , \ldots , p_r}{} die ersten $r$ Primzahlen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne den Ausdruck
\mathdisp {n^2+n+41} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0,1,2, \ldots
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Handelt es sich dabei um
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass es unendlich viele normierte
\definitionsverweis {irreduzible}{}{}
Polynome in
\mathl{K[X]}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s}} { }
für reelles
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \leq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {divergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^s}} { }
für eine komplexe Zahl $s$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{
\operatorname{Re} \, { \left( s \right) }
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {absolut konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne den Wert der Reihe
\mathdisp {\sum_{n \in M(\{3,5,7\})} \frac{1}{n^4}} { . }
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe ist
Aufgabe 7.36 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
hilfreich.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ die Folge der
\definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{.}
Zeige, dass die Reihe der Kehrwerte
\mathdisp {\sum_{n \in \N_+} { \frac{ 1 }{ f_n } }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathdisp {\int_2^\infty { \frac{ 1 }{ x \ln x } }} { }
divergiert.
}
{} {}
Welche Beziehung besteht zwischen der vorstehenden Aufgabe und Satz 11.7?
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es außer
\mathl{3,5,7}{} kein weiteres Zahlentripel der Form
\mathl{p,p+2,p+4}{} gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es eine gerade Zahl
\mathbed {g} {}
{2 \leq g \leq 252} {}
{} {} {} {,}
mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen $p$ derart gibt, dass auch
\mathl{p+g}{} eine Primzahl ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo $4$ den Rest $1$ besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl $q$ modulo unendlich vieler Primzahlen $p$ ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde neben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1
}
{ =} { 1^2
}
{ <} { 25
}
{ =} { 5^2
}
{ <} { 49
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { 7^2
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
weitere teilerfremde Quadratzahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2
}
{ <} { b^2
}
{ <} { c^2
}
{ <} { 1000
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c^2-b^2
}
{ =} { b^2-a^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Es gibt innerhalb der Quadratzahlen keine arithmetische Progression der Länge $4$.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es keine unendlich lange arithmetische Progression gibt, die nur aus Primzahlen besteht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die Reihe
\mathl{\sum_{n \in T} { \frac{ 1 }{ n } }}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
und dass es in $T$ arithmetische Progressionen beliebiger Länge gibt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass es unendlich viele \definitionsverweis {Primzahlen}{}{} gibt, die modulo $4$ den Rest $3$ besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Von wie vielen Zahlen ist \anfuehrung{durchschnittlich}{} die Zahl $7$ der kleinste Primteiler? Erläutere dabei, warum diese Frage durchaus einen Sinn macht. Beschreibe alle Zahlen, deren kleinster Primteiler $7$ ist (begründe!).
Beantworte die entsprechenden Fragen für eine beliebige Primzahl. Bis zu welcher Primzahl $p$ muss man gehen, damit durchschnittlich mindestens $80 \%$ (oder $85 \%$ oder $90 \%$) aller Zahlen einen Primteiler $\leq p$ besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die kleinste Primzahl
\mathl{p_k}{} derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \prod_{i = 1}^k { \frac{ 1 }{ 1-p_i^{-1 } }}
}
{ =} { { \frac{ p_1 }{ p_1-1 } } \cdot { \frac{ p_2 }{ p_2-1 } } \cdots { \frac{ p_k }{ p_k-1 } }
}
{ \geq} { 5
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ > }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine reelle Zahl. Zeige, dass die Anzahl
\mathdisp {\pi(ax) - \pi(x)} { }
unbeschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne das unendliche Produkt
\mathdisp {\prod_{p \in {\mathbb P}, \, p \geq 7} \frac{1}{1-p^{-2} }} { . }
}
{} {}