Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 11

Finde die kleinste Zahl ${\displaystyle {}N}$ der Form ${\displaystyle {}N=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{r}+1}$, die keine Primzahl ist, wobei ${\displaystyle {}p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}}$ die ersten ${\displaystyle {}r}$ Primzahlen sind.

Berechne den Ausdruck

${\displaystyle n^{2}+n+41}$

für ${\displaystyle {}n=0,1,2,\ldots }$. Handelt es sich dabei um Primzahlen?

Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei ${\displaystyle {}K[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}K}$. Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in ${\displaystyle {}K[X]}$ gibt.

Zeige, dass die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

für reelles ${\displaystyle {}s\leq 1}$ divergiert.

Zeige, dass die Reihe

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

für eine komplexe Zahl ${\displaystyle {}s}$ mit ${\displaystyle {}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1}$ absolut konvergiert.

Berechne den Wert der Reihe

${\displaystyle \sum _{n\in M(\{3,5,7\})}{\frac {1}{n^{4}}}.}$

Es sei ${\displaystyle {}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ die Folge der Fibonacci-Zahlen. Zeige, dass die Reihe der Kehrwerte

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\frac {1}{f_{n}}}}$

konvergiert.

Zeige, dass das uneigentliche Integral

${\displaystyle \int _{2}^{\infty }{\frac {1}{x\ln x}}}$

divergiert.

Zeige, dass es außer ${\displaystyle {}3,5,7}$ kein weiteres Zahlentripel der Form ${\displaystyle {}p,p+2,p+4}$ gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.

Zeige, dass es eine gerade Zahl ${\displaystyle {}g}$, ${\displaystyle {}2\leq g\leq 252}$, mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen ${\displaystyle {}p}$ derart gibt, dass auch ${\displaystyle {}p+g}$ eine Primzahl ist.

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo ${\displaystyle {}4}$ den Rest ${\displaystyle {}1}$ besitzen.

Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl ${\displaystyle {}q}$ modulo unendlich vieler Primzahlen ${\displaystyle {}p}$ ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest.

Finde neben

${\displaystyle {}1=1^{2}<25=5^{2}<49=7^{2}\,}$

weitere teilerfremde Quadratzahlen

${\displaystyle {}a^{2}<b^{2}<c^{2}<1000\,}$

mit

${\displaystyle {}c^{2}-b^{2}=b^{2}-a^{2}\,.}$

Zeige, dass es keine unendlich lange arithmetische Progression gibt, die nur aus Primzahlen besteht.

Man gebe ein Beispiel für eine Teilmenge ${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {N} _{+}}$ derart, dass die Reihe ${\displaystyle {}\sum _{n\in T}{\frac {1}{n}}}$ konvergiert, und dass es in ${\displaystyle {}T}$ arithmetische Progressionen beliebiger Länge gibt.

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo ${\displaystyle {}4}$ den Rest ${\displaystyle {}3}$ besitzen.

Von wie vielen Zahlen ist „durchschnittlich“ die Zahl ${\displaystyle {}7}$ der kleinste Primteiler? Erläutere dabei, warum diese Frage durchaus einen Sinn macht. Beschreibe alle Zahlen, deren kleinster Primteiler ${\displaystyle {}7}$ ist (begründe!).

Beantworte die entsprechenden Fragen für eine beliebige Primzahl. Bis zu welcher Primzahl ${\displaystyle {}p}$ muss man gehen, damit durchschnittlich mindestens ${\displaystyle {}80\%}$ (oder ${\displaystyle {}85\%}$ oder ${\displaystyle {}90\%}$) aller Zahlen einen Primteiler ${\displaystyle {}\leq p}$ besitzen.

Bestimme die kleinste Primzahl ${\displaystyle {}p_{k}}$ derart, dass

${\displaystyle {}\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}={\frac {p_{1}}{p_{1}-1}}\cdot {\frac {p_{2}}{p_{2}-1}}\cdots {\frac {p_{k}}{p_{k}-1}}\geq 5\,}$

ist.

Es sei ${\displaystyle {}a>1}$ eine reelle Zahl. Zeige, dass die Anzahl

${\displaystyle \pi (ax)-\pi (x)}$

unbeschränkt ist.

Berechne das unendliche Produkt

${\displaystyle \prod _{p\in {\mathbb {P} },\,p\geq 7}{\frac {1}{1-p^{-2}}}.}$