Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 15/latex
\setcounter{section}{15}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
und $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R)
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass jedes Element
\mathbed {f \in K} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
eine im Wesentlichen eindeutige Produktzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { up_1^{r_1 } { \cdots } p_n^{r_n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und ganzzahligen Exponenten $r_i$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {faktorieller Bereich}{}{} mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^n
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann schon $a$ zu $R$ gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die rationalen Zahlen
\mathl{(\mathbb Q, +, 0)}{} als
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass sie nicht endlich erzeugt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte die rationalen Zahlen
\mathl{(\Q, +, 0)}{} als
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{.}
Zeige, dass $G$
\definitionsverweis {zyklisch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme einen Erzeuger für die
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ ( \Q,+,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{8}{7}, \, \frac{5}{11}, \, \frac{7}{10}\,} { }
erzeugt wird.
}
{} {}
Eine solche Untergruppe von $\Q$ nennt man auch ein \stichwort {gebrochenes Ideal} {.}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}
}
{ \subseteq }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{3}{7}, \, \frac{5}{6}, \, \frac{3}{10} \,} { }
erzeugt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\mathbb P}$ die Menge der
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
und
\maabbdisp {\alpha} {{\mathbb P}} { \Z
} {}
eine Abbildung. Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G_\alpha
}
{ =} { { \left\{ q \in \Q^{\times} \mid \operatorname{ exp}_{ p } ^{ } { \left( q \right) } \geq \alpha(p) \text{ für alle } p \right\} } \cup \{0\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $(\Q,0,+)$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} { (\Q,0,+) } { (\Q \setminus \{0\},1,\cdot) } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ trivial ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} {(\Q \setminus \{0\},1,\cdot)} {(\Q,0,+) } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ nicht \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es einen \definitionsverweis {surjektiven}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {(\Q \setminus \{0\},1,\cdot)} {(\Q,0,+) } {} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2^{1/5}
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $\Q$ ist und bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
davon.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es nur \definitionsverweis {abzählbar}{}{} viele \definitionsverweis {algebraische Zahlen}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass es einen
\zusatzklammer {injektiven} {} {}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabb {} { L } { {\mathbb C}
} {}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {\Q \subseteq K \subset {\mathbb C}} {und} {\Q \subseteq L \subset {\mathbb C}} {}
zwei
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{}
von $\Q$ vom Grad
\mathkor {} {d} {bzw.} {e} {.} Es seien
\mathkor {} {d} {und} {e} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K \cap L
}
{ =} { \Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne in
\mathdisp {\Z/( 7 )[X]/(X^3+4X^2+X+5)} { }
das Produkt
\mathdisp {(2x^2+5x+3) \cdot (3x^2+x+6)} { }
\zusatzklammer {$x$ bezeichne die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das Inverse von
\mathl{2x^2+3x-1}{} im
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{\Q[X]/ { \left( X^3-5 \right) }}{}
\zusatzklammer {$x$ bezeichnet die Restklasse von $X$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathbed {z=a+b { \mathrm i} \in {\mathbb C}} {}
{a,b \in \R} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {algebraische Zahl}{}{.}
Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z }
}
{ = }{ a-b { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sowie der Real- und der Imaginärteil von $z$ algebraisch sind. Man bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb A} \cap \R
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bringe für die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\R
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Konzepte
\definitionsverweis {Norm}{}{}
und
\definitionsverweis {Spur}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Betrag}{}{}
und dem
\definitionsverweis {Realteil}{}{}
einer komplexen Zahl in Verbindung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ \Q[ \sqrt{3} ]
}
{ = }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Erstelle die Matrix der Multiplikationsabbildung zu
\mathl{-4+9 \sqrt{3}}{} bezüglich der
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{1, \sqrt{3}}{} von $L$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element
\mathl{7x^2-4x+5}{} in der kubischen Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {\Q[X]/ { \left( X^3-6X^2+5X-8 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { L } { \operatorname{End}_{ K } \, ( L )
} { f } { \mu_f
} {,}
ein
\definitionsverweis {injektiver}{}{}
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne für das Element
\mathl{2+4x+5x^2}{} in der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[ X ]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ \defeqr} { L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
und die
\definitionsverweis {Spur}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/( 2 )
}
{ \subseteq} { \Z/( 2 ) [X]/ { \left( X^2+X+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis $1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für sämtliche Elemente der Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/( 3 )
}
{ \subseteq} { \Z/( 3 ) [X]/ { \left( X^2-2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Multiplikationsmatrizen bezüglich der Basis $1,x$ sowie ihre Norm und ihre Spur.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {mehrfache Nullstelle}{}{}
von $F$ ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F'(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wobei $F'$ die
\definitionsverweis {formale Ableitung}{}{}
von $F$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ = }{ K(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
des
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subset }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {einfache}{}{,}
aber keine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $A$ eine kommutative $K$-Algebra, die außerdem ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein über $K$
\definitionsverweis {algebraisches Element}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein normiertes Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist $P$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $f$ genau dann, wenn es
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element
\mathl{7x^2+3x-8}{} in der kubischen Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ =} {\Q[X]/ { \left( X^3+9X^2-2X+5 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ X^n-c
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a_{n-1} X^{n-1} + a_{n-2}X^{n-2} + \cdots + a_1X+ a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Element in der
\definitionsverweis {einfachen}{}{}
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ = }{ K[X]/(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $n$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
von $f$ gleich $na_0$ ist.
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe werden verschiedene äquivalente Bedingungen an ein Polynom gestellt, die man alle als Definition eines separablen Polynoms nehmen kann. Man darf verwenden, dass es zu jedem Körper einen Erweiterungskörper gibt, in dem ein vorgegebenes Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
\aufzaehlungvier{ $F$ und die (formale) Ableitung $F'$ sind teilerfremd.
}{ $F$ und die (formale) Ableitung $F'$ erzeugen das Einheitsideal.
}{ $F$ besitzt in keinem Erweiterungskörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
mehrfache Nullstellen.
}{Es gibt einen Erweiterungskörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $F$ als Polynom in
\mathl{L[X]}{} in $n$ verschiedene Linearfaktoren zerfällt.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3 (1+1+1)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{.}
\aufzaehlungdreiabc{ Man gebe eine einfache Charakterisierung dafür, dass $F$
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist.
}{Zeige, dass in Charakteristik null jedes irreduzible Polynom separabel ist.
}{ Man gebe ein Beispiel, dass das in positiver Charakteristik nicht immer stimmen muss.
}
}
{} {}