Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Arbeitsblatt 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe für die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{({\mathbb Z}/(16))^\times}{} explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche Ziffern treten im Dezimalsystem als Endziffern von Quadratzahlen auf?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche
\definitionsverweis {quadratische Reste}{}{}
modulo der
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
\mathl{< 20}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ 1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige unter Verwendung
des Satzes von Wilson,
dass
\mathl{\frac{p-1}{2} !}{} eine Quadratwurzel von $-1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde Quadratwurzeln für $2$ modulo $p$ für alle Primzahlen $p$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ = }{ \pm 1 \mod 8
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \leq }{ 32
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine ungerade
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {primitive Einheit}{}{}
von
\mathl{\Z/( p )}{} nie ein
\definitionsverweis {quadratischer Rest}{}{}
ist. Bestimme für die Primzahlen $\leq 20$, ob darin jeder nichtquadratische Rest primitiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die kleinste Primzahl $p$ derart, dass es in
\mathl{\Z/( p )}{} ein Element $a$ gibt, das weder primitiv noch ein Quadrat noch gleich
\mathl{-1}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{?}
Wie viele Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{,} die weder primitiv noch ein Quadrat sind?
Es sei $x$ ein primitives Element von
\mathl{\Z/(31)}{.} Liste explizit alle Elemente $x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Quadrate in
\mathl{\Z/(35)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungfuenf{Finde die kleinste Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo $n$.
}{Finde die kleinste Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass es eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ < }{ p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die selbst kein Quadrat ist, aber ein Quadratrest modulo $p$.
}{Finde die größte Primzahl $p$ mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo $p$ die Quadratzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ < }{ p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind.
}{Untersuche
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { 8,16,32
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in Hinblick auf die Eigenschaft, ob es neben den Quadraten noch weitere Quadratreste modulo $n$ gibt.
}{Finde die größte
\zusatzklammer {?} {} {}
Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass die einzigen Quadratreste modulo $n$ die Quadratzahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ < }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige
Satz 6.6
für
\mathl{\Z/(25)}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass
\mathl{{ \left( \Z/( n ) \right) }^{\times}}{}
\definitionsverweis {zyklisch}{}{}
ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich
\mathl{\varphi(\varphi(n))}{} ist, wobei $\varphi$ die
\definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{}
bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn
\mathl{{ \left( \Z/( n ) \right) }^{\times}}{} nicht zyklisch ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das Potenzieren
\maabbeledisp {} { { \left( \Z/( p ) \right) }^{\times} } { { \left( \Z/( p ) \right) }^{\times}
} { x } { x^e
} {,}
genau dann eine Bijektion ist, wenn $e$ und $p-1$
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestätige
Satz 6.6
für
\mathl{\Z/(27)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_p
}
{ = }{ \Z/( p )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige Restklassenkörper. Konstruiere Ringe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_p[ { \mathrm i} ]
}
{ =} { {\mathbb F}_p \oplus {\mathbb F}_p { \mathrm i}
}
{ =} { { \left\{ a+b { \mathrm i} \mid a,b \in {\mathbb F}_p \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in der gleichen Weise, wie man die komplexen Zahlen definiert. Charakterisiere, für welche $p$ diese Konstruktion einen Körper liefert.
}
{} {}