Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler

Multiplikative topologische Nullteiler charakterisieren die ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-regulären (bzw. die ${\displaystyle {\mathcal {MPC}}}$-regulären Elemente) in kommuntativen multiplikativen topologischen Algebren mit einem submultiplikativen Halbnormensystem (bzw. submultiplikativen ${\displaystyle p}$-Halbnormensystem).

${\displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},\,\,x,y\in A}:\,\,\,\|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\alpha }\cdot \|y\|_{\alpha }}$

Die Negation der Eigenschaft, ein multiplikativer topologischer Nullteiler zu sein, führt dazu, dass ein ${\displaystyle z\in A\in {\mathcal {MPC}}_{e}^{k}}$ mit ${\displaystyle z\notin {\mathcal {MTNT}}(A)}$ ein ${\displaystyle {\mathcal {MPC}}}$-reguläres Element in kommuntativen unitalen topologische Algebren ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ ist. Dies gilt analog für die Algebrenklasse ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}_{e}^{k}}$. Daher werden die multiplikativen topologischen Nullteiler in dieser Lerneinheit genauer untersucht.

In einer Nullumgebung kann man die skalar-unbeschränkten Teilmenge einer Nullumgebung identifizieren. Das sind die Elemente ${\displaystyle u\in A}$ einer Nullumgebung ${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$, bei denen beliebige skalare Vielfache ${\displaystyle \lambda \cdot u}$ der Vektoren ebenfalls wieder in der Nullumgebung liegen (i.e. ${\displaystyle \lambda \cdot u\in U}$ für alle ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$).

Sei ${\displaystyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ eine topologische Algebra mit ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{A}}$ als System von offenen Mengen und ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ eine Nullumgebung. Die skalar-unbeschränkte Teilmenge einer Nullumgebung ${\displaystyle \Lambda (U_{0})\subseteq U_{0}}$ wird dann wie folgt definiert:

${\displaystyle \Lambda (U_{0}):=\left\{u\in U_{0}\,\colon \,\forall _{\lambda \in \mathbb {K} }:\,\,\lambda \cdot u\in U_{0}\right\}}$

Für jede Nullumgebung ${\displaystyle U_{0}}$ gilt ${\displaystyle \Lambda (U_{0})\not =\emptyset }$, denn der Nullvektor ${\displaystyle 0_{A}\in U_{0}}$ liegt in der skalar-unbeschränkten Teilmenge ${\displaystyle \Lambda (U_{0})}$ von beliebigen Nullumgebungen ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$, denn für alle ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ erhält man die Bedingung:

${\displaystyle \lambda \cdot 0_{A}=0_{A}\in U_{0}.}$

Sei ${\displaystyle ({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\mathbb {N} })}$ die Vektorraum der stetige reellwertige Funktionen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit dem Halbnormensystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathbb {N} }}$ und den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):

${\displaystyle \|f\|_{n}:=\displaystyle \int _{-n}^{+n}|f(x)|\,dx}$

Geben Sie zu dem lokalkonvexen topologischen Vektorraum ${\displaystyle ({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\mathbb {N} })}$ zu der offenen Menge

${\displaystyle B_{\varepsilon }^{(n)}(0_{V}):=\left\{f\,:\,\|f\|_{n}=\displaystyle \int _{-n}^{+n}|f(x)|\,dx<\varepsilon \right\}}$

die Elemente aus ${\displaystyle \Lambda \left(B_{\varepsilon }^{(n)}(0_{V})\right)}$ an.

Sei ${\displaystyle ({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\mathbb {N} }^{(\ast )})}$ die Vektorraum der stetige reellwertige Funktionen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit dem Halbnormensystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathbb {N} }^{(\ast )}}$ und den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):

${\displaystyle \|f\|_{n}^{(\ast )}:=\displaystyle \max\{x\in [-n,+n]\}|f(x)|}$

Geben Sie in ${\displaystyle ({\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\|\cdot \|_{\mathbb {N} })}$ zu der offenen Menge ${\displaystyle B_{\varepsilon }^{(n,\ast )}(0_{V}):=\left\{f\,:\,\|f\|_{n}^{(\ast )}<\varepsilon \right\}}$ wieder alle Elemente aus ${\displaystyle \Lambda \left(B_{\varepsilon }^{(n,\ast )}(0_{V})\right)}$ an. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen Aufgabe 1 und 2 bzgl. der skalaren Unbeschränktheit?

Wir betrachten die reelle ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Algebra von Potenzreihen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }[t]}$ mit reellen Koeffizienten und der Partialsummentopologie. Dabei sind mit ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }[t]}$ beliebige Potenzreihen gemeint, die nicht notwendig konvergent bzw. absolut konvergent mit Koeffizienten in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sind.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}p(t)&:=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ wie folgt definiert sind:}}\\\left|\!\left\|p\right\|\!\right|^{\downarrow m}&:=&\left|\!\left\|p^{\downarrow m}\right\|\!\right|=\displaystyle \sum _{k=0}^{m}|p_{k}|{\mbox{ mit }}m\in \mathbb {N} .\end{array}}}$

Sei ${\displaystyle \varepsilon >0}$ beliebig gewählt. Zeigen Sie, dass alle Potenzreihen ${\displaystyle p\in A:=\mathbb {R} ^{\infty }[t]}$ mit ${\displaystyle p_{k}=0}$ für alle ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,m\}}$ zur skalar-unbeschränkten Teilmenge der Nullumgebungen ${\displaystyle U_{m}\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ gehören mit:

${\displaystyle U_{m}:=B_{\varepsilon }^{m}(0_{A})=\left\{p\in A\,\colon \,\|p\|^{\downarrow m}<\varepsilon \right\}}$

${\textstyle \mathbb {R} ^{\infty }[t]}$ wird analog zur Polynomalgebra die Cauchymultiplikation von zwei Potenzreihen ${\displaystyle p,q}$ als multiplikative Verknüpfung wie folgt definiert.

$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}p(t)&:=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{, }}q(t):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}\,{\mbox{ und }}\\(p\cdot q)(t)&:=&p(t)\cdot q(t):=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\cdot t^{n}.\end{array}}}$$

Zeigen Sie, dass die Partialsummentopologie submultiplikative Halbnormen auf der Potenzreihenalgebra erzeugt.

Sei ${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ eine topologische Algebra. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige multiplikative topologische Nullteiler. Dabei gilt für eine multiplikative Nullumgebung ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ die Bedingung:

${\displaystyle U_{0}\cdot U_{0}=U_{0}^{2}\subseteq U_{0}}$

Für das entsprechende Gaugefunktionale ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ gilt dann ${\displaystyle \|x\cdot y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\alpha }\cdot \|y\|_{\alpha }}$ für alle ${\displaystyle x,y\in A}$.

Man nennt ${\textstyle z\in A}$ einen rechtsseitgen multiplikativer topologischen Nullteiler in ${\textstyle A}$ (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)}$), falls es eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ gibt, so dass gilt für alle ${\displaystyle \lambda >0}$:

$${\displaystyle \lambda \cdot U_{0}\cap z\cdot (A\setminus U_{0})\not =\emptyset }$$

${\textstyle z\in A}$ heißt linksseitger multiplikativer topologischer Nullteiler in ${\textstyle A}$ (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)}$), falls ese eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle \lambda >0}$ gilt:

$${\displaystyle \lambda \cdot U_{0}\cap (A\setminus U_{0})\cdot z\not =\emptyset }$$

${\textstyle z\in A}$ ist ein multiplikativer topologischer Nullteiler (Bezeichnung: ${\textstyle z\in {\mathcal {MTNT}}(A)}$), falls ${\textstyle z}$ ein rechtseitiger oder ein linkseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler ist.

Die Definition eines multiplikativen topologischen Nullteilers basiert auf dem Charakterisierungssatz von Zelazko für ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}_{e}^{k}}$-reguläre Elemente (1971)^[1], bei dem die Menge der multiplikativen topologischen Nullteiler genau die ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}_{e}^{k}}$-singulären Elemente der Algebra darstellt.

Sei ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ ein submultiplikatives ${\displaystyle p}$-Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$, dann gilt mit ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {A}})}$ als Menge der Gaugefunktionalindizes, die submultiplikativ, sind folgende Äquivalenz:

• ${\displaystyle z\in {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)\Longleftrightarrow \displaystyle \exists _{\alpha \in {\mathcal {M}}({\mathcal {A}})\,\,}:\,\inf _{\|x\|_{\alpha }=1}\|z\cdot x\|_{\alpha }=0}$
• ${\displaystyle z\in {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)\Longleftrightarrow \displaystyle \exists _{\alpha \in {\mathcal {M}}({\mathcal {A}})\,\,}:\,\inf _{\|x\|_{\alpha }=1}\|x\cdot z\|_{\alpha }=0}$

In kommutativen Algebren gilt ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)={\mathcal {MTNT}}_{l}(A)={\mathcal {MTNT}}(A)}$.

Beweis siehe MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale.

Sei ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ ein unital positives submultiplikatives ${\displaystyle p}$-Halbnormensystem ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$ einer ${\displaystyle {\mathcal {MPC}}^{k}}$-Algebra, dann gilt:

${\displaystyle z\notin {\mathcal {MTNT}}(A):\Longleftrightarrow \displaystyle \forall _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\exists _{D_{\alpha }>0}:\,\|x\|_{\alpha }\leq D_{\alpha }\|z\cdot x\|_{\alpha }}$

Bei der Charakterisierung der ${\displaystyle {\mathcal {MPC}}_{e}^{k}}$-Regularität sind die ${\displaystyle {\mathcal {MPC}}_{e}^{k}}$-singulären Elemente genau die multiplikativen topologischen Nullteiler und die ${\displaystyle {\mathcal {MPC}}_{e}^{k}}$-regulären Elemente die Elemente, die die folgenden Ungleichung für alle ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ mit geeignet gewählten ${\displaystyle D_{\alpha }>0}$ erfüllen für alle ${\displaystyle x\in A}$:

${\displaystyle \|x\|_{\alpha }\leq D_{\alpha }\|z\cdot x\|_{\alpha }}$

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ eine topologische Algebra mit einem unital-positiven Gaugefunktionalsystem ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$, dann gilt ${\displaystyle {\mathcal {TNT}}(A)\subseteq {\mathcal {MTNT}}(A)}$.

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$, dann gilt ${\textstyle z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ genau dann, wenn es ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ gilt:

$${\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\beta }=0}$$

Wenn ${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$ submultiplikativ ist, dann gilt die Aussage insbesondere für ${\displaystyle \beta =\alpha }$ und man erhält die Behauptung. ${\displaystyle \Box }$

Für multiplikative topologische Nullteiler muss das Infimum aber nur 0 sein für das spezielle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$. Für rechtsseitige (linksseitige) topologische Nullteiler muss das Infimum aber für alle ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ gelten. Also folgt insbesondere:

$${\displaystyle \inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z\cdot x\right\|_{\alpha }=0}$$

Damit gilt auch ${\textstyle z\in {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)}$.

Der Beweis für den Zusammenhang zwischen multiplikativen topologischen Nullteilern und topologischen Nullteiler über Gaugefunktionale verläuft für inksseitige und allgemeine TNT und MTNT analog.

Sei ${\displaystyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ und ${\displaystyle z\in {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$ ein rechtseitiger topologischer Nullteiler, für den gilt nach Definition, dass es eine Nullumgebung ${\textstyle U_{0}\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ gibt, so dass gilt:

$${\displaystyle 0_{A}\in {\overline {z\cdot (A\setminus U_{0})}}}$$

Damit gilt u.a., dass es für jede Nullumgebgung ${\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}_{\mathcal {T}}(0_{A})}$ gilt:

$${\displaystyle 0_{A}\in U\cap z\cdot (A\setminus U_{0})\not =\emptyset }$$

Da der Nullvektor ${\displaystyle 0_{A}\in A}$ in jeder skalar unbeschränkten Teilmengen ${\displaystyle \Lambda (U)}$ von beliebigen Nullumgebungen ${\textstyle U\in {\mathfrak {U}}(0_{A})}$ enthalten ist, gilt für alle ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ die Bedingung:

${\displaystyle \lambda \cdot 0_{A}=0_{A}\in U_{0}}$

Sei ${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ eine topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen. Dann gelten folgende Teilmengenbeziehungen:

• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}(A)}$

Die folgenden Beweisaufgaben beziehen sich auf den Zusammenhang von multiplikativen topologischen Nullteilern und topologischen Nullteilern. Zeigen Sie die folgenden Aussagen über die Verwendung eines unital-positiven Gaugefunktionalsystems ${\displaystyle \|\cdot \|_{\mathcal {A}}}$ auf ${\displaystyle (A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})}$ z.B. für ${\displaystyle {\mathcal {TNT}}(A)\subseteq {\mathcal {MTNT}}(A)}$.

Beweisen Sie, dass in einer topologische Algebra${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen die folgende Teilmengenbeziehungen gelten:

• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}(A)}$

Zeigen Sie, dass in Banachalgebren bzw. lokalbeschränkten Algebren die Gleichheit gilt:

• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)={\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)={\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}(A)={\mathcal {TNT}}(A)}$

Begründen Sie, dass die ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}_{e}^{k}}$-singulären Elemente genau die multiplikativen topologischen Nullteiler sind, d.h. für ein ${\displaystyle z\in A\in {\mathcal {MLC}}_{e}^{k}}$ gilt:

${\displaystyle z\in {\mathcal {MTNT}}(A)\Longleftrightarrow z\notin {\mathcal {G}}_{\mathcal {MLC}}(A)}$

Sei ${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ eine topologische Algebra. Dann gelten die Teilmengenbeziehung auf für Elemente mit topologisch kleinen Potenzen über folgende Teilmengenbeziehungen:

• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)\supseteq {\mathcal {TKP}}_{l}(A)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)\supseteq {\mathcal {TKP}}_{r}(A)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}(A)\supseteq {\mathcal {TKP}}(A)}$

Da topologische Nullteiler auch Elemente mit topologisch kleinen Potenzen sind, folgt die Übungsaufgabe obenin einer topologische Algebra${\textstyle (A,{\mathcal {T}}_{A})}$ mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen auch unmittelbar aus der folgenden Teilmengenbeziehung:

• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}_{l}(A)\supseteq {\mathcal {TKP}}_{l}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}_{l}(A)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}_{r}(A)\supseteq {\mathcal {TKP}}_{r}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}_{r}(A)}$
• ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}(A)\supseteq {\mathcal {TKP}}(A)\supseteq {\mathcal {TNT}}(A)}$

Über die Teilmengenbeziehung ${\displaystyle {\mathcal {MTNT}}(A)\supseteq {\mathcal {TKP}}(A)}$ kann es Elemente in eine ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-Algebra ${\displaystyle A}$ geben, die zwar ein multiplikativer topologischer Nullteiler sind, aber dennoch topologisch große Potenzen besitzen. In einem solchen Fall kann ein ${\displaystyle {\mathcal {MLC}}}$-singuläres Element dennoch ${\displaystyle {\mathcal {LC}}}$-regulär sein.

1. ↑ Zelazko, W., (1971), On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37, S. 181-190;

• Topologische Nullteiler
• TNT-Kriterium für Gaugefunktional
• MTNT-Kriterium für Gaugefunktional

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