Lineare Algebra 2/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}K^{3}}$

${\displaystyle {}x\times y={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\-x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}\,}$

das Kreuzprodukt erklärt.

${\displaystyle {}V}$

${\displaystyle {}\left\langle -,-\right\rangle }$

${\displaystyle (p,q)}$

besitzt, wobei

${\displaystyle {}p:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ positiv definit}}\right)}}\,}$

und

${\displaystyle {}q:={\max {\left(\dim _{\mathbb {R} }{\left(U\right)},U\subseteq V,\,\left\langle -,-\right\rangle {|}_{U}{\text{ negativ definit}}\right)}}\,}$

ist.

${\displaystyle V\times V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

heißt Sesquilinearform, wenn für alle ${\displaystyle {}v\in V}$ die induzierten Abbildungen

${\displaystyle V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-antilinear und für alle ${\displaystyle {}w\in V}$ die induzierten Abbildungen

${\displaystyle V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,}$

${\displaystyle {}{\mathbb {C} }}$-linear sind.

${\displaystyle G\longrightarrow G}$

der Form ${\displaystyle {}x\mapsto gxg^{-1}}$ zu einem festen Element ${\displaystyle {}g\in G}$ heißt innerer Automorphismus.

${\displaystyle {}B\left(x,r\right)={\left\{y\in M\mid d(x,y)\leq r\right\}}\,}$

die abgeschlossene Kugel um ${\displaystyle {}x}$ mit Radius ${\displaystyle {}r}$.