Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe/Lösung

Es seien ${}u,v\in V$ Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen. Dann ist
${}\Vert {u+v}\Vert ^{2}=\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$
Zu einer Linearform
$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor ${}w\in V$ mit

${}f(v)=\left\langle w,v\right\rangle \,.$
Es sei ${}G$ ${}G$ eine Gruppe und ${}H\subseteq G$ ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}H$ ist ein Normalteiler von ${}G$ .

Es ist ${}xhx^{-1}\in H$ für alle ${}x\in G$ und ${}h\in H$ .

${}H$ ist invariant unter jedem inneren Automorphismus von ${}G$ .