Lineare Operation/Lokaler Ring/Aufgabe

Es sei ${\displaystyle {}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}$ eine Untergruppe, die zur Operation von ${\displaystyle {}G}$ auf dem Polynomring ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ führt. Zeige, dass dies auch eine Operation von ${\displaystyle {}G}$ auf der Lokalisierung ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}}$ induziert, und dass ${\displaystyle {}{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}\right)}^{G}}$ isomorph zu ${\displaystyle {}{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\right)}_{\mathfrak {n}}}$ ist, wobei ${\displaystyle {}{\mathfrak {n}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})\cap K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}}$ bezeichnet.