Lineares Gleichungssystem/Rationale Funktionen/2/Aufgabe/Lösung

${\displaystyle {}tx-t^{3}y=t^{2}-1\,,}$

${\displaystyle {}x-{\left(t-2\right)}y=t+4\,.}$

Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit ${\displaystyle {}t}$ und erhalten

${\displaystyle {}tx-{\left(t^{2}-2t\right)}y=t^{2}+4t\,.}$

Wir ziehen diese Gleichung von der ersten ab und erhalten

${\displaystyle {}-t^{3}y+{\left(t^{2}-t\right)}y=t^{2}-1-t^{2}-4t\,}$

bzw.

${\displaystyle {}{\left(-t^{3}+t^{2}-t\right)}y=-4t-1\,}$

und damit

${\displaystyle {}y={\frac {4t+1}{t^{3}-t^{2}+t}}\,.}$

Dies ergibt wiederum

${\displaystyle {}{\begin{aligned}x&={\left(t-2\right)}y+t+4\\&={\left(t-2\right)}\cdot {\frac {4t+1}{t^{3}-t^{2}+t}}+t+4\\&={\frac {{\left(t-2\right)}{\left(4t+1\right)}+{\left(t+4\right)}{\left(t^{3}-t^{2}+t\right)}}{t^{3}-t^{2}+t}}\\&={\frac {4t^{2}-7t-2+t^{4}+3t^{3}-3t^{2}+4t}{t^{3}-t^{2}+t}}\\&={\frac {t^{4}+3t^{3}+t^{2}-3t-2}{t^{3}-t^{2}+t}}.\end{aligned}}}$