Lokaler Ring/Assoziierter graduierter Ring/Regularität/Fakt

Es sei ${\displaystyle {}R}$ ein lokaler noetherscher Ring.

Dann ist ${\displaystyle {}R}$ genau dann regulär, wenn der assoziierte graduierte Ring ${\displaystyle {}\operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R}$ ein Polynomring über ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {m}}}$ in ${\displaystyle {}\operatorname {dim} {\left(R\right)}}$ Variablen ist.