Lokaler Ring/Assoziierter graduierter Ring/Regularität/Fakt/Beweis

Das maximale Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ sei durch die Erzeuger ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{e}}$ gegeben, wobei ${\displaystyle {}e}$ die Einbettungsdimension von ${\displaystyle {}R}$ bezeichnet. Dazu gehört ein surjektiver graduierter ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {m}}}$-Algebrahomomorphismus

${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}[X_{1},\ldots ,X_{e}]\longrightarrow \operatorname {Gr} _{\mathfrak {m}}R=R/{\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\oplus {\mathfrak {m}}^{2}/{\mathfrak {m}}^{3}\ldots ,\,X_{i}\longmapsto [f_{i}],}$

(${\displaystyle {}[f_{i}]}$ bezeichnet die Klasse von ${\displaystyle {}f_{i}}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$). Es steht links ein Ring der Dimension ${\displaystyle {}e}$ und rechts nach Fakt bzw. der graduierten Version davon ein Ring der Dimension ${\displaystyle {}d=\operatorname {dim} {\left(R\right)}}$. Wenn ${\displaystyle {}R}$ regulär ist, so ist ${\displaystyle {}d=e}$ und der Kern muss trivial sein, da echte Restklassenringe eines Integritätsbereiches eine kleinere Dimension besitzen. Wenn umgekehrt ein Isomorphismus vorliegt, so muss ${\displaystyle {}d=e}$ sein.