Lokaler Ring/Regulär/Homologische Charakterisierung/Fakt/Beweis

${\displaystyle {}(1)\Rightarrow (2)}$. Wir führen Induktion über die Dimension ${\displaystyle {}d}$ von ${\displaystyle {}R}$. Wenn ${\displaystyle {}d=0}$ ist, so liegt ein Körper vor, und ein endlicher ${\displaystyle {}R}$-Modul ist einfach ein endlichdimensionaler Vektorraum. Diese besitzen eine Basis und sind somit frei, besitzen also die projektive Dimension ${\displaystyle {}0}$. Es sei also nun ${\displaystyle {}d\geq 1}$ und die Aussage für reguläre Ringe kleinerer Dimension schon bewiesen. Wir nehmen ein ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {m}}\setminus {\mathfrak {m}}^{2}}$, was es nach dem Lemma von Nakayama geben muss. Nach Fakt ist der Restklassenring ${\displaystyle {}R/(f)}$ ebenfalls regulär und hat kleinere Dimension. Es sei nun ${\displaystyle {}M}$ ein endlicher ${\displaystyle {}R}$-Modul. Wenn ${\displaystyle {}M}$ frei ist, so ist die Aussage klar. Es sei ${\displaystyle {}M}$ nicht frei (insbesondere nicht ${\displaystyle {}0}$) und

${\displaystyle \cdots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$

eine minimale freie Auflösung. Es ist zu zeigen, dass diese endlich ist. Es sei ${\displaystyle {}N}$ der Kern der Abbildung ${\displaystyle {}F_{0}\rightarrow M}$. Wir schneiden die Auflösung ab und erhalten eine minimale freie Auflösung

${\displaystyle \cdots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow N=\operatorname {kern} \varphi _{0}\longrightarrow 0.}$

Da ${\displaystyle {}M}$ nicht frei ist, ist ${\displaystyle {}N}$ nicht der Nullmodul.

Da ${\displaystyle {}f}$ nach Fakt ein Nichtnullteiler in ${\displaystyle {}R}$ ist und ${\displaystyle {}N}$ ein Untermodul eines freien Moduls ist, folgt, dass ${\displaystyle {}f}$ auch ein Nichtnullteiler für ${\displaystyle {}N}$ ist. Wir können somit Fakt anwenden und erhalten einen exakten Komplex

${\displaystyle \cdots \longrightarrow F_{2}/fF_{2}\longrightarrow F_{1}/fF_{1}\longrightarrow N/fN\longrightarrow 0.}$

Dieser ist eine freie Auflösung des ${\displaystyle {}R/(f)}$-Moduls ${\displaystyle {}N/fN}$. Er ist minimal: Der Rang von ${\displaystyle {}F_{1}}$ ist die minimale Erzeugendenzahl von ${\displaystyle {}N}$ über ${\displaystyle {}R}$ und diese ist die ${\displaystyle {}K}$-Dimension von ${\displaystyle {}N/{\mathfrak {m}}N}$, die wiederum die minimale Erzeugendenzahl von ${\displaystyle {}N/fN}$ über ${\displaystyle {}R/(f)}$ ist. Entsprechend muss man für ${\displaystyle {}F_{2},F_{3},\ldots }$ argumentieren. Nach Induktonsvoraussetzung ist

${\displaystyle {}F_{n}/fF_{n}=0\,}$

für ein ${\displaystyle {}n}$. Wegen ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {m}}}$ muss dann aber schon ${\displaystyle {}F_{n}=0}$ sein.
${\displaystyle {}(2)\Rightarrow (3)}$. Das ist eine Einschränkung.
${\displaystyle {}(3)\Rightarrow (1)}$. Es sei

${\displaystyle 0\longrightarrow F_{n}\longrightarrow \cdots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}=R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0}$

eine minimale freie Auflösung des Restklassenkörpers. Wir zeigen durch Induktion über ${\displaystyle {}n}$, dass ${\displaystyle {}R}$ regulär ist. Bei ${\displaystyle {}n=0}$ wird der exakte Komplex zu

${\displaystyle 0\longrightarrow F_{0}=R\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0,}$

${\displaystyle {}R}$

${\displaystyle {}n\geq 1}$ und die Aussage für kleinere ${\displaystyle {}n}$ bewiesen. Wir betrachten das linke Ende der Auflösung

${\displaystyle 0\longrightarrow F_{n}\longrightarrow F_{n-1}\longrightarrow \ldots ,}$

wobei ${\displaystyle {}F_{n}}$ und ${\displaystyle {}F_{n-1}}$ frei und nicht ${\displaystyle {}0}$ sind. Das Bild liegt in ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}F_{n-1}}$ wegen der Minimalität und wegen ${\displaystyle {}n\geq 1}$. Wir behaupten, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ kein assoziiertes Primideal von ${\displaystyle {}R}$ ist. Andernfalls wäre

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=\operatorname {Ann} _{}{\left(h\right)}\,}$

für ein ${\displaystyle {}h\in R}$, ${\displaystyle {}h\neq 0}$, und insbesondere wäre

${\displaystyle {}h{\mathfrak {m}}=0\,.}$

Dann wäre auch ${\displaystyle {}h{\mathfrak {m}}F_{n-1}=0}$ und somit ${\displaystyle {}hF_{n}=0}$, was aber bei einem freien Modul nicht sein kann. Dies bedeutet nach Fakt, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ einen Nichtnullteiler enthalten muss. Daher ist die Dimension von ${\displaystyle {}R}$ zumindest ${\displaystyle {}1}$. Daher ist die Inklusion

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{2}\subset {\mathfrak {m}}\,}$

echt und nach Fakt gibt es ein ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {m}}}$ mit ${\displaystyle {}f\notin {\mathfrak {m}}^{2}\cup \bigcup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} {\left(R\right)}}{\mathfrak {p}}}$. Insbesondere ist ${\displaystyle {}f}$ ein Nichtnullteiler. Ähnlich wie im Beweis von (1) nach (2) ist dann auch der Komplex (der Kern der nullten Abbildung ist hier das maximale Ideal)

${\displaystyle 0\longrightarrow F_{n}/fF_{n}\longrightarrow \cdots \longrightarrow F_{2}/fF_{2}\longrightarrow F_{1}/fF_{1}\longrightarrow {\mathfrak {m}}/f{\mathfrak {m}}\longrightarrow 0}$

exakt. Da ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}/f{\mathfrak {m}}}$ nicht der Restklassenkörper von ${\displaystyle {}F/(f)}$ ist, können wir nicht unmittelbar die Induktionsvoraussetzung anwenden. Unter dem ${\displaystyle {}R}$-Modulhomomorphismus

${\displaystyle R\longrightarrow {\mathfrak {m}}/f{\mathfrak {m}},\,1\longmapsto [f],}$

wird genau ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ auf ${\displaystyle {}0}$ abgebildet, wir haben also eine injektive Abbildung

${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}\longrightarrow {\mathfrak {m}}/f{\mathfrak {m}}.}$

Wegen ${\displaystyle {}f\in {\mathfrak {m}}\setminus {\mathfrak {m}}^{2}}$ können wir ${\displaystyle {}f}$ zu einem minimalen Erzeugendensystem ${\displaystyle {}f,g_{2},\ldots ,g_{s}}$ von ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ ergänzen. Wir behaupten, dass es einen wohldefinierten Modulhomomorphismus

${\displaystyle {\mathfrak {m}}/f{\mathfrak {m}}\longrightarrow R/{\mathfrak {m}}}$

gibt, der linksinvers zur obigen Einbettung ist. Dabei wird ein Element

${\displaystyle {}h=af_{1}+b_{2}g_{2}+\cdots +a_{s}g_{s}\,}$

auf ${\displaystyle {}a}$ abgebildet. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei

${\displaystyle {}h=a'f+b'_{2}g_{2}+\cdots +b'_{s}g_{s}\,}$

eine weitere Darstellung. Dann ist

${\displaystyle {}0=(a-a')f+(b_{2}-b_{2}')g_{2}+\cdots +(b_{s}-b'_{s})g_{s}\,}$

in ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}/f{\mathfrak {m}}}$ und das bedeutet

${\displaystyle {}(a-a')f+(b_{2}-b_{2}')g_{2}+\cdots +(b_{s}-b'_{s})g_{s}=fc\,}$

mit ${\displaystyle {}c\in {\mathfrak {m}}}$. Wäre ${\displaystyle {}a-a'\notin {\mathfrak {m}}}$, so wäre dies eine Einheit und damit auch ${\displaystyle {}a-a'-c}$. Doch dann könnte man ${\displaystyle {}f}$ als Linearkombination der ${\displaystyle {}g_{2},\ldots ,g_{s}}$ ausdrücken im Widerspruch zur Minimalität. Es gibt also eine direkte Zerlegung

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}/f{\mathfrak {m}}=R/{\mathfrak {m}}\oplus N\,}$

mit einem weiteren ${\displaystyle {}R}$- (oder ${\displaystyle {}R/(f)}$-)Modul ${\displaystyle {}N}$. Nach Fakt besitzen in einer solchen Situation auch die Summanden eine endliche projektive Dimension, die nicht größer als die projektive Dimension der Summe ist. Somit besitzt also der Restklassenkörper eine endliche projektive Dimension über ${\displaystyle {}R/(f)}$. Nach Induktionsvoraussetzung ist somit ${\displaystyle {}R/(f)}$ regulär, und seine Dimension ist nach dem Hauptidealsatz um ${\displaystyle {}1}$ kleiner als die von ${\displaystyle {}R}$. Dies gilt auch für die Einbettungsdimension. Somit ist ${\displaystyle {}R}$ regulär.